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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 9

Considere o polinômio do 2º grau a x 2 + b x + c , e sejam x 1 e x 2 como no item c ) do Exercício 8 . Verifique que

a x 2 + b x + c = a x - x 1 ( x - x 2 )

Passo 1

Olá galera, tudo bom? Vou ajudar vocês nessa questão. Pra começar, vamos lá no exercício anterior e resgatar as expressões para x 1 e x 2 :

x 1 = - b + Δ 2 a ; x 2 = - b - Δ 2 a

Certo?

Passo 2

Agora vou substituir na expressão do enunciado do lado dieito:

a x 2 + b x + c = a x - - b + Δ 2 a x - - b - Δ 2 a

Agora vou arrumar os sinais:

a x 2 + b x + c = a x + b - Δ 2 a x + b + Δ 2 a

E só agora fazer o produto notável :

a x 2 + b x + c = a x 2 + x b - Δ 2 a + x b + Δ 2 a + b - Δ 2 a b + Δ 2 a

Xiii, que coisa enorme não é mesmo? Mas calma, vamos resulver por partes =)

Passo 3

Primeiro fazendo esse produto aqui:

b - Δ 2 a b + Δ 2 a = b 2 4 a 2 - b Δ 4 a 2 + b Δ 4 a 2 - Δ 4 a 2 = b 2 4 a 2 -   b 2 - 4 a c 4 a 2 = c a

Agora vamos jogar esse resultado dentro dos colchetes do passo anterior? Bora lá!

Passo 4

Voltando ao que tínhamos:

a x 2 + b x + c = a x 2 + x b - Δ 2 a + x b + Δ 2 a + b - Δ 2 a b + Δ 2 a

E substituindo o vaor que encontramos teremos:

a x 2 + b x + c = a x 2 + x b - Δ 2 a + x b + Δ 2 a + c a

Agora vou separar os termos do meio:

a x 2 + b x + c = a x 2 + x b 2 a - x Δ 2 a + x b 2 a + x Δ 2 a + c a

E agora podemos simplificar as frações que envolvem Δ e somar as que envolvem x :

a x 2 + b x + c = a x 2 + 2 x b 2 a + c a

Agora já está mais simpática né? Vou simplificat mais um pouco essa expressão e multiplicar todos fatores por a que está do lado de fora dos colchetes:

a x 2 + b x + c = a x 2 + a x b a + a c a

Eba! Agora sim já vemos uma luz no fim do túnel, não é? Basta simplificar a nas duas últimas frações do lado direito e está mostrada a equivalência:

a x 2 + b x + c = a x 2 + b x + c

Beleza? Vamos pra próxima?

Resposta

a x 2 + b x + c = a x - x 1 ( x - x 2 )

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Utilizando o Exercício 9 , fatore o polinômio do 2 º º grau dado b )x 2 - x - 2