Enunciado

Simplifique.

((1)/(x^2) - 1)/(x - 1)

Passo 1

Vamos lá, para simplificar essa expressão vamos tentar manipular um pouco ela, vamos tirar o mínimo do numerador:

(1)/(x^2) - 1 = (1 - x^2)/(x^2)

Pronto, vamos substituir então:

((1)/(x^2) - 1)/(x - 1) = ((1 - x^2)/(x^2))/(x - 1)

Vamos agora deixar em uma parcela só, com uma expressão só no numerador e outra no denominador, fazemos isso repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do denominador:

((1)/(x^2) - 1)/(x - 1) = ((1 - x^2)/(x^2))/(x - 1) = (1 - x^2)/(x^2) * (1)/((x - 1)) = (1 - x^2)/(x^2 (x - 1))

Passo 2

Agora vamos usar produto notável no numerador, dá pra ver que ele é da forma:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)

Vamos lá então:

1 - x^2 = 1^2 - x^2 = (1 + x) (1 - x)

Substituindo ficamos com:

(1 - x^2)/(x^2 (x - 1)) = ((1 + x) (1 - x))/(x^2 (x - 1))

Passo 3

Pronto, está quase lá, podemos reparar que quase temos uma parcela no numerador (1 - x) igual ao do denominador (x - 1) , apenas está com sinal invertido, vamos então multiplicar e dividir a expressão por - 1 , assim dá pra eliminar essa parcela fácil:

((1 + x) (1 - x))/(x^2 (x - 1)) = ((1 + x) (1 - x))/(x^2 (x - 1)) * ((- 1))/((- 1)) = ((1 + x) (1 - x) (- 1))/(x^2 (- x + 1)) = - (1 + x)/(x^2)

Pronto, está simplificado!

Resposta

((1)/(x^2) - 1)/(x - 1) = - (1 + x)/(x^2)

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