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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 39b

Considere o sistema mola-massa ilustrado na Figura 4.2.4 consistindo em duas massas unitárias suspensas de molas com constantes 3 e 2, respectivamente. Suponha que não há amortecimento no sistema.

Resolva a primeira das Eqs. (i) para u2 e substitua o resultado na segunda equação, obtendo, assim, a seguinte equação de quarta ordem para u1

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser montar o sistema:

k 2 u 2 - u 1 - k 1 u 1 = m 1 a 1

- k 2 u 2 - u 1 = m 2 a 2

k 2 = 2

k 1 = 3

m 1 = m 2 = 1

2 u 2 - u 1 - 3 u 1 = u 1 ' '

- 2 u 2 - u 1 = u 2 ' '

Logo, nosso sistema é:

u 1 ' ' + 5   u 1 = 2 u 2 u 2 ' ' + 2 u 2 = 2 u 1

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

u 1 4 + 7   u 1 ' ' + 6   u 1 = 0

u 1 = e r t

u 1 ' = r e r t

u 1 ' ' = r ² e r t

u 1 ' ' ' = r ³ e r t

u 1 4 = r 4 e r t

r 4 + 7 r 2 + 6 = 0

r =   ± 6 i   ,   ± i

u 1 t = C 5 cos ⁡ 6 t + C 6 sin ⁡ 6 t + C 7 cos ⁡ t + C 8 sin ⁡ t  

Resposta

u 1 t = C 5 cos ⁡ 6 t + C 6 sin ⁡ 6 t + C 7 cos ⁡ t + C 8 sin ⁡ t  

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