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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.3 - Ex. 1

Considere s o solido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno no do eixo y . Explique por que é complicado usar fatias para encontrar o volume V de S. Esboce uma casca de aproximação típica. Quais são a circunferência e altura ? Use cascas para encontrar V.

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema! Temos a seguinte curva:

A partir da rotação dessa região em torno do eixo y obtemos um sólido s . O enunciado pede pra a gente explicar por que é complicado usar fatias para encontrar o volume V de S .

Se usássemos o método 'anelar', primeiro teríamos de localizar o ponto máximo local ( a , b ) de y = x x - 1 2 usando os métodos do capítulo 4. Então teríamos que resolver a equação:

y = x x - 1 2

Para x na em termos de y para obter as funções x = g 1 ( x ) e x = g 2 ( x ) mostradas na na figura:

Essa etapa seria difícil porque envolve a fórmula cúbica. Finalmente, reduziríamos o volume usando:

V =     ∫ 0 b   [ g 1 y 2 - g 2 y 2 }   d y  

Passo 2

Usando o método das conchas, descobrimos que uma casca típica aproximada tem raio x , então sua circunferência é 2 π x   .   Assim:

Sua altura é y , ou seja, x x - 1 2 . Então o volume total é :

V = ∫ 0 1   2 π x   x x - 1 2 d x

V = 2 π ∫ 0 1   x 4 - 2 x 3 + x 2 d x

Integrando temos:

V = 2 π x 5 5 - 2 x 4 4 + x 3 3 0 1 = π 15

Prontinho!

Resposta

V = 2 π x 5 5 - 2 x 4 4 + x 3 3 0 1 = π 15

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