Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Esboce a região e uma casca típica.

y = x², y = 0, x = 1, x = 2; e m t o r n o d e x = 1

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos lembrar método das cascas cilíndricas:

V = ∫ a b 2 π ( x - e i x o ) . f ( x ) . d x

Ficou fácil, não? Basta substituirmos porque já temos tudo o que precisamos:

V = ∫ 1 2 2 π ( x - 1 ) . x ² . d x

Tiramos as constantes:

V = 2 π ∫ 1 2 ( x - 1 ) . x ² . d x

Agora fazemos o chuveirinho:

V = 2 π ∫ 1 2 ( x ³ - x ² ) . d x

Integrando:

V = 2 π x 4 4 - x 3 3 2 1

Aplicando os intervalos:

V = 2 π 2 4 4 - 2 3 3 - 1 4 4 - 1 3 3

V = 2 π 16 4 - 8 3 - 1 4 - 1 3

V = 2 π 16 12 + 1 12 = 2 π 17 12 = 17 6 π

Resposta

V = 17 6 π

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