23 – 24 Considere como a variável independente e como a variável dependente e use a diferenciação implícita para encontrar .

23.

Aplicando a derivada dos dois lados da equação, temos:

E podemos aplicar a derivada em cada um dos termos que estão entre parênteses. Assim:

Como estão derivando em relação a , podemos usar a regra do expoente em todos os temos que possuem apenas . Assim:

Para os termos que possuem

e

não podemos simplesmente aplicar a derivada, pois é uma função de . Sendo assim, precisaremos usar algumas outras regrinhas.

Vamos ver cada um deles separadamente.

Para a derivada:

Temos um produto de uma função que é uma e a função . Ou seja temos um produto entre funções. Então vamos usar a regra do produto:

Então aplicando a regra do produto, ficamos com:

Mas para fazer precisamos utilizar a regra da cadeia, já que temos em função de . Essa regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

Nesse caso a função de fora é o expoente e a função de dentro é , então podemos escrever a equação como sendo:

E teremos:

Ou seja:

Beleza.

Agora para:

Aplicaremos a regra do produto novamente, já que temos uma multiplicação entre duas funções. Assim:

E para fazer , também precisaremos da regra da cadeia. Assim:

O que nos dará:

Ou seja:

Prontinho, agora vamos voltar e substituir essas duas derivadas em nossa derivação original.

Tínhamos:

Substituindo, ficamos com:

Tirando os parênteses:

Ajeitando um pouco melhor e deixando os termos que possuem de um único lado da igualdade, termos:

Colocando em evidência, ficamos com:

Isolando , teremos finalmente:

E prontinho, temos nossa derivada que foi calculada implicitamente.