Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 20
Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.
Passo 1
Fala aí! Como vai?
Nesse problema foi dada a função
e nosso objetivo é calcular suas derivadas de primeira e segunda ordem.
Tem ideia de como fazemos isso?
A primeira coisa que podemos observar na nossa função é que temos uma função composta, ou seja, uma função dentro da outra.
Dessa forma, para calcular sua derivada vamos aplicar a regra da cadeia.
Veja só!
Passo 2
Vamos começar derivando toda a função
Assim, a função de dentro é dada por e a função de fora por , ou seja
Perceba que na derivada de fora, consideramos como uma constante pois ela é a função de dentro e estamos derivando em função dela. Assim podemos substitui-la por
Pela regra da cadeia, temos
Pelo teorema fundamental do calculo, temos que
Substituindo em
Não podemos derivar o resultado em função de , então voltamos para
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora com a primeira derivada em mãos, derivamos o resultado para obter a derivada de segunda ordem.
Podemos perceber que estamos derivando uma fração de funções, então para facilitar nossa vida vamos aplicar a regra do quociente.
Ou seja
Pela regra da potencia, temos
Substituindo em
É isso! O que achou? Responde Aí!