Encontre y'' diferenciando implicitamente.

x^3 + y^3 = 1

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui, iremos derivar implicitamente a equação que nos foi dada. Iremos fazer isso duas vezes, já que queremos a derivada segunda.

Aqui iremos utilizar em algum momento a regra da cadeia, ela é utilizada quando temos uma composição de funções, uma função dentro de outra função ou no caso de derivação implícita.

A regra da cadeia é a seguinte:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Passo 2

1. Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x :

(d)/(d x) (x^3 + y^3) = (d)/(d x) (1)

3 x^2 + 3 y^2 (d y)/(d x) = 0

2. Isolamos ( (d y)/(d x) ) :

3 y^2 (d y)/(d x) = - 3 x^2

(d y)/(d x) = (- 3 x^2)/(3 y^2) = - (x^2)/(y^2)

Passo 3

3. Diferenciamos novamente em relação a x para encontrar ( y^(' ') ) :

(d)/(d x) ((d y)/(d x)) = (d)/(d x) (- (x^2)/(y^2))

Usamos a regra do quociente e a regra da cadeia:

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x)/(y^2) - (- (x^2)/(y^3)) (d y)/(d x)

Substituímos ( (d y)/(d x) ) que havíamos encontrado anteriormente:

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x)/(y^2) - (- (x^2)/(y^3)) (- (x^2)/(y^2))

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x)/(y^2) - (x^4)/(y^5)

Assim, a segunda derivada y^(' ') da função implícita x^3 + y^3 = 1 é:

y^(' ') = (- 2 x)/(y^2) - (x^4)/(y^5)

Resposta

y^(' ') = (- 2 x)/(y^2) - (x^4)/(y^5)

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