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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 83a

Determine d y // d x da seguinte expressão x^3 + y^3 = 1

Passo 1

Para obtermos d y // d x , derivamos em x ambos os lados. Ficaremos com a expressão:

(d)/(d x) ( x^3 + y^3 ) = (d)/(d x) ( 1 )

Passo 2

Aplicamos a regra da soma de derivadas no primeiro termo a esquerda e a regra da constante no termo a direita, no qual a derivada de 1 resultará em 0, teremos:

(d)/(d x) ( x^3 ) + (d)/(d x) ( y^3 ) = 0

Passo 3

Aplicando as derivadas temos que o primeiro termo usaremos a regra da potência enquanto que o segundo termo será a derivada implícita, obtida por uma regra da cadeia:

3 x^(3 - 1) + 3 y^(3 - 1) (d y)/(d x) = 0 -> 3 x^2 + 2 y^2 (d y)/(d x) = 0

Passo 4

Isolando o termo (d y)/(d x) , passando o 3 x^2 para o lado direito da igualdade, temos :

3 y^2 (d y)/(d x) = - 3 x^2

Passo 5

Passando o termo 3 y^2 dividindo para o lado direito e simplificando os termos semelhantes teremos: :

(d y)/(d x) = - (x^2)/(y^2)

Passo 6

Para obter (d^2 y)/(d x^2) aplicamos a regra de derivação do quociente. Assim:

(d^2 y)/(d x^2) = - ((d)/(d x) ( x^2 ) y^2 - x^2 (d)/(d x) ( y^2 ))/(( y^2 )^2)

Passo 7

Para obter (d^2 y)/(d x^2) aplicamos a regra de derivação do quociente. Assim:

(d^2 y)/(d x^2) = - ((d)/(d x) ( x^2 ) y^2 - x^2 (d)/(d x) ( y^2 ))/(( y^2 )^2) -> (d^2 y)/(d x^2) = - ((d)/(d x) ( x^2 ) y^2 - x^2 (d)/(d x) ( y^2 ))/(( y^2 )^2) -> (d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^2 + x^2 2 y (d y)/(d x))/(y^4^())

Passo 8

Contudo, sabemos que:

(d y)/(d x) = - (x^2)/(y^2)

Substituindo em (d^2 y)/(d x^2) :

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^2 + x^2 2 y ( - (x^2)/(y^2) ))/(y^4^()) -> (d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^2 + x^2 2 y ( - (x^2)/(y^2) ))/(1) * (1)/(y^4) -> (d^2 y)/(d x^2) = - 2 x y^2 - 2 (x^4)/(y^())^() * (1)/(y^4)

(d^2 y)/(d x^2) = - 2 (x)/(y^2) - 2 (x^4)/(y^5)^()

Resposta

Podemos reescrever o último resultado como:

(d^2 y)/(d x^2) = - 2 ( (x y^3 + x^4)/(y^5) )^()

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