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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 68

Consideremos o problema de projetar uma linha férrea de modo a fazer transições lisas entre as seções de trilhos restos. Um trilho existente aod longo daparte negativa do eixo x precisa ser ligado a um trilho que corre ao longo da reta y = 1 para x ≥ 1 .

  1. Determine um polinômio P = P x de grau 5 tal que a função F definida por

    2. F x = 0 ,     s e   x ≤ 0 P x ,     s e   0 < x < 1   1 ,     s e   x ≥ 1

    seja continua e tenha derivada e curvatura conínuas.

  2. Utilize uma calculadora gráfica ou um computador para traçar o gráfico de F .

Passo 1

  1. Vamos lá, para a função ser contínua temos que ter P 0 = 0 e P 1 - 1 e para F ' ser contínua temos que ter P ' 0 = P ' 1 = 0 .

    2. A curvatura da curva y = F x no ponto x ,   F x é:

    k x = F ' ' x 1 + F ' x 2 3 2

    E por ultimo para k x ser contínua temos que ter P ' ' 0 = P ' ' 1 = 0 .

    Passo 2

    Vamos então escrever P x como um polinômio de grau 5 :

    P x = a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f

    Agora vamos achar P ' x e P ' ' x :

    P ' x = 5 a x 4 + 4 b x 3 + 3 c x 2 + 2 d x + e

    P ' ' x = 20 a x 3 + 12 b x 2 + 6 c x + 2 d

    Passo 3

    Vamos agora usar as seis condições que temos:

    P 0 = 0 → a . 0 5 + b . 0 4 + c . 0 3 + d . 0 2 + e . 0 + f = 0 → f = 0

    P 1 = 1 → a . 1 5 + b . 1 4 + c . 1 3 + d . 1 2 + e . 1 + 0 = 1 → a + b + c + d + e = 1

    P ' 0 = 0 → 5 a . 0 4 + 4 b . 0 3 + 3 c . 0 2 + 2 d . 0 + 0 = 0 → e = 0

    P ' 1 = 0 → 5 a . 1 4 + 4 b . 1 3 + 3 c 1 . 2 + 2 d . 1 + e = 0 → 5 a + 4 b + 3 c + 2 d = 0

    P ' ' 0 = 0 → 20 a . 0 3 + 12 b . 0 2 + 6 c . 0 + 2 d = 0 → d = 0

    P ' ' 1 = 0 → 20 a . 1 3 + 12 b . 1 2 + 6 c . 1 + 2 . 0 = 0 → 20 a + 12 b + 6 c = 0

    Já achamos que d = e = f = 0 , vamos resolver o sistema com as três equações que sobraram:

    a + b + c + d + e = 1 5 a + 4 b + 3 c + 2 d = 0 20 a + 12 b + 6 c = 0 → a + b + c = 1 5 a + 4 b + 3 c = 0 10 a + 6 b + 3 c = 0

    Multiplicando a segunda expressão por - 1 e somando com a terceira, e multiplicando a primeira por 3 e subtraindo da segunda ficamos com:

    a + b + c = 1 5 a + 4 b + 3 c = 0 10 a + 6 b + 3 c = 0 → 5 a + 2 b = 0 2 a + b = - 3 → 5 a + 2 b = 0 - 4 a - 2 b = 6 → a = 6

    b = - 5 a 2 = - 5.6 2 = - 1 5

    c = 1 - b - a = 1 - - 15 - 6 = 1 0

    Pronto, temos todos o valores, agora é só substituir em P x :

    P x = a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f = 6 x 5 - 15 x 4 + 10 x 3 + 0 . x 2 + 0 . x + 0 = 6 x 5 - 15 x 4 + 10 x 3

    Passo 4

  2. Utilizando uma calculadora gráfica vamos obter o gráfico de F abaixo:

Resposta

  1. P x = 6 x 5 - 15 x 4 + 10 x 3

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