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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 37

Use a fórmula do Exercício 40 para calcular a curvatura.

x = e t cos ⁡ t

y = e t sen ⁡ t

Passo 1

A fórmula do exercício 40 é

κ = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 / 2

Primeiramente, vamos calcular as primeiras derivadas

x ˙ = e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t = e t ( cos ⁡ t - sen ⁡ t )

y ˙ = e t sen ⁡ t + e t cos ⁡ t = e t ( sen ⁡ t + cos ⁡ t )

E as segundas derivadas

x ¨ = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t + e t - sen ⁡ t - cos ⁡ t = e t ( cos ⁡ t - sen ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t )

x ¨ = - 2 e t sen ⁡ t

y ¨ = e t sen ⁡ t + cos ⁡ t + e t cos ⁡ t - sen ⁡ t = e t sen ⁡ t + cos ⁡ t + cos ⁡ t - sen ⁡ t

y ¨ = 2 e t cos ⁡ t

Passo 2

Substituindo na fórmula

κ = e t ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) 2 e t cos ⁡ t - e t ( sen ⁡ t + cos ⁡ t ) ( - 2 e t sen ⁡ t ) ( e t ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) ) 2 + ( e t ( sen ⁡ t + cos ⁡ t ) ) 2 3 / 2

κ = 2 e 2 t cos 2 ⁡ t - cos ⁡ t sen ⁡ t + 2 e 2 t ( sen 2 ⁡ t + sen ⁡ t cos ⁡ t ) e 2 t ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) 2 + e 2 t sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 3 / 2

κ = 2 e 2 t cos 2 ⁡ t - cos ⁡ t sen ⁡ t + sen 2 ⁡ t + sen ⁡ t cos ⁡ t e 2 t [ ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 ] 3 / 2

No parênteses do numerador, podemos usar uma relação sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , enquando as outras partes se cancelam

κ = 2 e 2 t e 2 t [ ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 ] 3 / 2

Pensando agora no colchete interno do denominador, vamos fazer uma substituição e trabalhar com ele separadamente, chamando a = cos ⁡ t e b = sen ⁡ t

[ ( cos ⁡ t - sen ⁡ t ) 2 + sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 ] = [ ( a - b ) 2 + b + a 2 ]

= [ a 2 - 2 a b + b 2 + b 2 + 2 a b + a 2 ]

= 2 a 2 + 2 b 2 = 2 [ a 2 + b 2 ]

Substituindo de volta

2 a 2 + b 2 = 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 2

Substituindo de volta na equação

κ = 2 e 2 t 2 e 2 t 3 / 2

Como a exponencial é sempre positiva, podemos tirar do módulo

κ = 2 e 2 t 2 e 2 t 3 / 2

Como temos uma fração com expoentes de mesma base, podemos subtraí-los

κ = 2 e 2 t 1 - 3 / 2 = 2 e 2 t - 1 / 2

κ = 2 - 1 / 2 e - t

κ = 1 2 e t

Resposta

κ = 1 2 e t

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Use a Fórmula 11 para encontrar a curvatura. y = 2 x - x 2
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Trace o gráfico da curva com equações paramétricas x = t y = 4 t 3 / 2 z = - t 2 E calcule a curvatura no ponto (1, 4, -1).
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = ( t 2 ,s e nt - tc o st ,cos ⁡ t + ts e nt ) ,t0