Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.3 - Ex. 49
Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.
Passo 1
Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.
Dada a curva parametrizada:
Em forma de equação vetorial:
No ponto:
Queremos encontrar a equação do plano normal e queremos também encontrar o osculador da curva no ponto dado acima.
O plano normal tem como vetor normal , então precisaremos derivar a curva. Após derivarmos, poderemos encontrar o plano normal:
Onde:
O plano osculador tem os vetores e o vetor normal então tem como normal
Então deveremos calcular a segunda derivada também, e após isso realizarmos o produto vetorial.
Passo 2
O plano normal tem como vetor normal , então vamos calcular:
Para derivarmos uma função vetorial basta que derivar cada termo individualmente:
No ponto temos , então o vetor normal ao plano é
Agora podemos achar o plano normal com a fórmula
Onde é o vetor normal ao plano e o ponto
O plano normal é
Passo 3
O plano osculador tem os vetores e o vetor normal então tem como normal
A primeira derivada nós já temos, então basta calcular a segunda-feira
No ponto
Calculando o vetor binormal Para calcularmos o produto vetorial, podemos utilizar o determinante de uma matriz quadrada :
Podemos simplificar por , para jogar na fórmula, então um vetor normal ao plano osculador é , jogando na fórmula
O plano osculador é
Resposta
Normal:
Osculador: