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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 47

Encontre os vetores T , N e B no ponto indicado.

r t = t 2 , 2 3 t 3 , t

1 , 2 3 , 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu o seguinte vetor:

r t = t 2 , 2 3 t 3 , t

Queremos encontrar os vetores T , N e B no ponto 1 , 2 3 , 1 .

Mas como a gente calcula cada um???

Para calcular T usaremos a fórmula

T t = r ' t | r ' t |

Para calcular N usaremos a fórmula

N t = T ' t | T ' t |

Para calcular B usaremos a fórmula

B t = T t × N t

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para calcular T usaremos a fórmula

T t = r ' t | r ' t |

Calculando r ' t

r ' t = 2 t , 2 t 2 , 1

E agora calculando o módulo

| r ' t | = 2 t 2 + 2 t 2 2 + 1 2

= 4 t 2 + 4 t 4 + 1

Dentro da raiz temos um quadrado perfeito

2 t 2 + 1 2 = 2 t 2 + 1

Então

T t = 2 t , 2 t 2 , 1 2 t 2 + 1 = 2 t 2 t 2 + 1 , 2 t 2 2 t 2 + 1 , 1 2 t 2 + 1

Substituindo o ponto 1 , 2 3 , 1 , esse ponto acontece quando t = 1

T 1 = 2 2 + 1 , 2 2 + 1 , 1 2 + 1 = 2 3 , 2 3 , 1 3

Passo 3

Para calcular N usaremos a fórmula

N t = T ' t | T ' t |

Para derivar T t , a gente deriva cada componente separadamente utilizando a regra da divisão:

T ' t = 2 2 t 2 + 1 - 2 t 4 t 2 t 2 + 1 2 , 4 t 2 t 2 + 1 - 2 t 2 4 t 2 t 2 + 1 2 , - 4 t 2 t 2 + 1 2

T ' t = 4 t 2 + 2 - 8 t 2 2 t 2 + 1 2 , 8 t 3 + 4 t - 8 t 3 2 t 2 + 1 2 , - 4 t 2 t 2 + 1 2

T ' t = 2 - 4 t 2 2 t 2 + 1 2 , 4 t 2 t 2 + 1 2 , - 4 t 2 t 2 + 1 2

Calculando o módulo

| T ' t | = 2 - 4 t 2 2 t 2 + 1 2 2 + 4 t 2 t 2 + 1 2 2 + - 4 t 2 t 2 + 1 2 2

Como todos os termos dentro da raiz tem o mesmo denominador, podemos tirá-lo da raiz

| T ' t | = 2 - 4 t 2 2 + 4 t 2 + - 4 t 2 2 t 2 + 1 2

| T ' t | = 4 - 16 t 2 + 16 t 4 + 16 t 2 + 16 t 2 2 t 2 + 1 2

| T ' t | = 4 + 16 t 4 + 16 t 2 2 t 2 + 1 2

Dentro da raiz temos outro quadrado perfeito

| T ' t | = 2 + 4 t 2 2 2 t 2 + 1 2 = 2 + 4 t 2 2 t 2 + 1 2

Substituindo na fórmula

N t = 2 - 4 t 2 2 t 2 + 1 2 , 4 t 2 t 2 + 1 2 , - 4 t 2 t 2 + 1 2 2 + 4 t 2 2 t 2 + 1 2

N t = 2 - 4 t 2 2 + 4 t 2 , 4 t 2 + 4 t 2 , - 4 t 2 + 4 t 2

Quando t = 1

N 1 = 2 - 4 2 + 4 , 4 2 + 4 , - 4 2 + 4 = - 2 6 , 4 6 , - 4 6

N 1 = - 1 3 , 2 3 , - 2 3

Passo 4

Para calcular B usaremos a fórmula

B t = T t × N t

Como queremos quando t = 1

B 1 = T 1 × N 1

Então

B 1 = 2 3 , 2 3 , 1 3 × - 1 3 , 2 3 , - 2 3

B 1 = i j k 2 3 2 3 1 3 - 1 3 2 3 - 2 3 = i - 4 9 - 2 9 - j - 4 9 + 1 9 + k 4 9 + 2 9

B 1 = - 6 9 , 3 9 , 6 9

B 1 = - 2 3 , 1 3 , 2 3

Resposta

T = 2 3 , 2 3 , 1 3

N = - 1 3 , 2 3 , - 2 3

B = - 2 3 , 1 3 , 2 3

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Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce. r t =sin ⁡ t ,t
Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção das duas superfícies. O paraboloide z = 4 x 2 + y 2 e o cilindro parabólico y = x 2 .