Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando ?

Como a derivada da exponencial é ela mesma,

Substituindo na fórmula

Como a exponencial é sempre positiva, podemos tirar ela do módulo

Derivando usando a regra do quociente:

Simplificando o numerador:

Igualando a para achar o ponto crítico, aqui iremos começar a descobrir qual o valor de torna nossa função máxima:

Quando igualamos uma fração a , seu numerador tem que ser igual a , já que o denominador não pode ser zero:

Dividindo por :

Aplicando o logaritmo em ambos os lados pra cancelar a exponencial:

Utilizando da propriedade :

Ainda utilizando da mesma propriedade:

Para saber o ponto, precisamos saber também o :

Substituindo o que encontramos:

Então o ponto é

Para conferir se esse é um ponto de máximo, podemos comparar o valor da curvatura em um ponto antes e um após.

Então podemos usar como ponto anterior e como superior.

Calculando no ponto crítico:

Utilizando a propriedade de em conjunto com

Realizando a soma no denominador:

Reescrevendo em forma de potência fracionada:

Simplificando:

Calculando nos outros pontos:

Então e , logo é realmente um ponto de máximo.

Para saber o que acontece quando , vamos calcular o limite

Colocando em evidência

Retirando-o da potência:

Simplificando com o numerador:

Então quando a curvatura vai pra e a função tende a ter um comportamento de reta.