Ar contendo 0,06 % de dióxido de carbono é bombeado em um salão cujo volume é de 8000 c m 3 . A taxa na qual o ar é bombeado é de 2000 . c m 3 m i n u t o , e o ar circulante é então bombeado para fora a uma mesma taxa. Se havia inicialmente uma concetração de 0,2 % de dióxido de carbono, determine a quantidade subsequente no salão em qualquer instante. Qual será a concentração em 10 minutos? Qual é a concentração estacionária (ou de equilíbrio) de dióxido de carbono?

A t = 11,2 e - 1 4 t + 4,8 A 10 = 0,017 % Para t → ∞ , temos que: A → 0,06 %

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios de Revisão - Ex. 6

Ar contendo de dióxido de carbono é bombeado em um salão cujo volume é de . A taxa na qual o ar é bombeado é de , e o ar circulante é então bombeado para fora a uma mesma taxa. Se havia inicialmente uma concetração de de dióxido de carbono, determine a quantidade subsequente no salão em qualquer instante. Qual será a concentração em minutos? Qual é a concentração estacionária (ou de equilíbrio) de dióxido de carbono?

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de problema de misturas temos que a equação diferencial que descreve a situação é a seguinte:

Ou melhor:

No qual é a quantidade de álcool na mistura após uma quantidade de tempo . Inicialmente temos que descobrir quanto é essa taxa de entrada e quanto é essa taxa de saída, beleza? Show!

Passo 2

O enunciado nos diz que o ar é bombeado a uma taxa de . Como queremos a porcentagem de dióxido de carbono, temos que:

O enunciado também nos diz que o ar é mandado para fora à mesma taxa. Além disso, inicialmente há uma concentração de de dióxido, então:

Sendo assim, nossa expressão será:

Então vamos resolver essa equação aí!

Passo 3

Reescrevendo nossa equação, teremos:

Isolando as variáveis:

Integrando, teremos:

O que nos dá como resultado:

Passo 4

Como inicialmente temos: , então:

Então nossa expressão vira:

Para minutos, temos:

E a concentração estacionária ocorre quando , logo:

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

Para , temos que:

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