Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios de Revisão - Ex. 6
Ar contendo de dióxido de carbono é bombeado em um salão cujo volume é de . A taxa na qual o ar é bombeado é de , e o ar circulante é então bombeado para fora a uma mesma taxa. Se havia inicialmente uma concetração de de dióxido de carbono, determine a quantidade subsequente no salão em qualquer instante. Qual será a concentração em minutos? Qual é a concentração estacionária (ou de equilíbrio) de dióxido de carbono?
Passo 1
Então pessoal, para esse tipo de problema de misturas temos que a equação diferencial que descreve a situação é a seguinte:
Ou melhor:
No qual é a quantidade de álcool na mistura após uma quantidade de tempo . Inicialmente temos que descobrir quanto é essa taxa de entrada e quanto é essa taxa de saída, beleza? Show!
Passo 2
O enunciado nos diz que o ar é bombeado a uma taxa de . Como queremos a porcentagem de dióxido de carbono, temos que:
O enunciado também nos diz que o ar é mandado para fora à mesma taxa. Além disso, inicialmente há uma concentração de de dióxido, então:
Sendo assim, nossa expressão será:
Então vamos resolver essa equação aí!
Passo 3
Reescrevendo nossa equação, teremos:
Isolando as variáveis:
Integrando, teremos:
O que nos dá como resultado:
Passo 4
Como inicialmente temos: , então:
Então nossa expressão vira:
Para minutos, temos:
E a concentração estacionária ocorre quando , logo:
E está aí nossa resolução, galera! 😉
Resposta
Para , temos que: