Encontre a trajetória ortogonal da família que passa pelo ponto .
Passo 1
Então galera, a solução que nos deram foi:
Isolando , teremos:
Show!
Passo 2
Derivando a nossa função, teremos:
Trocando , teremos:
Sendo assim, a equação diferencial da família ortogonal é:
~
Agora sim!
Passo 3
Para a equação diferencial que encontramos temos o seguinte resultado:
No nosso caso, temos que:
Substituindo, teremos:
Resolvendo a integral do expoente:
Agora para resolvermos essa integral precisamos utilizar a integração por partes, saca só:
Jogando na fórmula, teremos:
Ok, resolvemos a integral!
Passo 4
Substituindo na nossa solução, teremos:
Aplicando a condição inicial , teremos:
Então nossa resposta final será: