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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios de Revisão - Ex. 2

Encontre a trajetória ortogonal da família y = 4 x + 1 + c 1 e 4 x que passa pelo ponto 0 ,   0 .

Passo 1

Então galera, a solução que nos deram foi:

y = 4 x + 1 + c 1 e 4 x

Isolando c 1 , teremos:

y - 4 x - 1 = c 1 e 4 x

∴ c 1 = y - 4 x - 1 e 4 x

Show!

Passo 2

Derivando a nossa função, teremos:

y ' = 4 + 4 c 1 e 4 x

Trocando c 1 , teremos:

y ' = 4 + 4 y - 4 x - 1 e 4 x e 4 x

y ' = 4 + 4 y - 4 x - 1

y ' = 4 + 4 y - 16 x - 4

y ' = 4 y - 16 x

Sendo assim, a equação diferencial da família ortogonal é:

d y d x = - 1 4 y - 16 x

d x d y = 16 x - 4 y

d x d y - 16 x = - 4 y

~

Agora sim!

Passo 3

Para a equação diferencial que encontramos temos o seguinte resultado:

x = e - ∫ P d y . ∫ e ∫ P d y . Q d y + c

No nosso caso, temos que:

P = - 16

Q = - 4 y

Substituindo, teremos:

x = e 16 ∫ d y . - 4 ∫ e - 16 ∫ d y y d y + c

Resolvendo a integral do expoente:

∫ d y = y

x = e 16 y . - 4 ∫ e - 16 y y d y + c

Agora para resolvermos essa integral precisamos utilizar a integração por partes, saca só:

u = y → d u = d y

d v = e - 16 y d y → v = - 1 16 e - 16 y

Jogando na fórmula, teremos:

- y 16 e - 16 y - 1 16 ∫ e - 16 y d y

- y 16 e - 16 y + 1 254 e - 16 y

Ok, resolvemos a integral!

Passo 4

Substituindo na nossa solução, teremos:

x = e 16 y . - 4 - y 16 e - 16 y + 1 254 e - 16 y + c

x = y 4 + 1 64 + c e 16 y

Aplicando a condição inicial 0 ,   0 , teremos:

0 = 0 + 1 64 + c

∴ c = - 1 64

Então nossa resposta final será:

x = y 4 + 1 64 - 1 64 e 16 y

Resposta

x = y 4 + 1 64 - 1 64 e 16 y

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