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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios de Revisão - Ex. 9

9. Considere a lei de resfriamento de Newton, d T d t = k T - T m ,   k < 0 , em que a temperatura do meio ambiente T m varia com o tempo. Suponha que a temperatura inicial de um corpo seja T 1 e que a temperatura inicial do meio ambiente seja T 2 e T m = T 2 + B T 1 - T , em que B > 0 é uma constante.

a) Encontre a temperatura do corpo em qualquer instante t .

b) Qual é o valor limite da temperatura quando t → ∞ ?

c) Qual é o valor limite de T m quando t → ∞ ?

Passo 1

a) Então galera, a equação que nos foi dada é a seguinte:

d T d t = k T - T m ,   k < 0

Como T m = T 2 + B T 1 - T , então teremos:

d T d t = k T - T 2 - B T 1 - T

d T d t = k 1 + B T - B T 1 + T 2

Separando as variáveis, teremos:

d T 1 + B T - B T 1 + T 2 = k d t

Show!

Passo 2

Integrando ambos os lados, teremos:

∫ d T 1 + B T - B T 1 + T 2 = k ∫ d t

Para a integral do lado esquerdo vamos fazer a substituição:

u = 1 + B T - B T 1 + T 2

d u = 1 + B d T

Substituindo, teremos:

1 1 + B ∫ d u u = 1 1 + B ln ⁡ u + c 1

Logo, nosso resultado será:

∫ d T 1 + B T - B T 1 + T 2 = 1 1 + B ln ⁡ 1 + B T - B T 1 + T 2

Para a integral da direita, teremos:

k ∫ d t = k t + c 2

Juntando os resultados:

1 1 + B ln ⁡ 1 + B T - B T 1 + T 2 = k t + c 2

O que nos dá:

T t = B T 1 + T 2 1 + B + c e k 1 + B t

Top, top!

Passo 3

Agora que encontramos uma expressão para T , vamos aplicar a condição inicial T 0 = T 1 , saca só:

T 1 = B T 1 + T 2 1 + B + c

c = T 1 - B T 1 + T 2 1 + B

c = T 1 - T 2 1 + B

Substituindo na expressão, teremos:

T t = B T 1 + T 2 1 + B + T 1 - T 2 1 + B e k 1 + B t

E está aí nossa solução! 😉

Passo 4

b) Para t → ∞ teremos:

T t = B T 1 + T 2 1 + B + T 1 - T 2 1 + B e k 1 + B t

T t = B T 1 + T 2 1 + B + T 1 - T 2 1 + B e k 1 + B t

T t = B T 1 + T 2 1 + B

Passo 5

c) A expressão de T m é:

T m = T 2 + B T 1 - T

Para t → ∞ , teremos:

T m = T 2 + B T 1 - B B T 1 + T 2 1 + B

Simplificando, teremos:

T m = B T 1 + T 2 1 + B

E está aí nossa resolução! 😊

Resposta

a) T t = B T 1 + T 2 1 + B + T 1 - T 2 1 + B e k 1 + B t

b) T = B T 1 + T 2 1 + B

c) T m = B T 1 + T 2 1 + B

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