Um tanque está parcialmente cheio com litros de fluido nos quais de sal são dissolvidos. Uma solução salina contendo de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de litros por minuto. A mistura é então drenada a uma taxa de litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque após minutos.

A questão nos diz que de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de litros por minuto. Tendo isso em vista a nossa taxa de entrada de sal será:

E a questão nos diz que a mistura é drenada a uma taxa de litros por minuto. Além disso, sabemos que o tanque já possui litros de fluido inicialmente. Criando uma expressão para isso, teremos:

Da onde surgiu esse ? Entram litros e saem , então litros é o que resta, certo? E como isso é um processo contínuo, então depende temos uma dependência no tempo, claro. Sendo assim, nossa expressão será:

Simplificando, teremos:

Então vamos resolver essa equação aí!

O formato dessa equação é:

No qual e são funções APENAS de . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Da nossa expressão tiramos que:

Substituindo na integral, teremos:

Resolvendo a integral do expoente:

Esse resultado é verdade sempre que a variável tiver grau no denominador, tudo bem galeris? Show! Substituindo na nossa solução:

Simplificando:

Agora temos que resolver essa última integral que apareceu aí:

Chamando , teremos:

Substituindo:

Voltando para :

Substituindo na solução:

A questão nos diz que inicialmente já haviam de sal na mistura, logo . Substituindo, teremos:

Então nossa expressão será:

Agora que temos a expressão de ouro, temos que descobrir quantos gramas de sal haverá no tanque após minutos. Fazendo , teremos:

E essa é a nossa resposta!