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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.3 - Ex. 20

(Continuação do Exercício 19.) Encontre o vetor tangente unitário à involuta do círculo no ponto P(x, y).

Passo 1

Fala minha galera querida!! Para encontrar o unitário, lembre-se, é a divisão do parâmetro pelo modulo dele, bora achar o parâmetro então.

Vamos relembrar a função do exercício anterior:

r t = ( cos ⁡ t + t   s e n   t ) i + ( s e n   t - t cos ⁡ t ) j

Passo 2

Vamos derivar para encontrar v(t) e depois encontrar o módulo.

v = d r d t = d d t cos ⁡ t + t   s e n   t i + s e n   t - t cos ⁡ t j

v = - sen ⁡ t + t cos ⁡ t + s e n   t i + cos ⁡ t - t - s e n   t + cos ⁡ t j

v = t cos ⁡ t   j + t   s e n   t   j

v = t cos ⁡ t 2 + t   s e n   t 2

Da relação fundamental da trigonometria t 2 cos 2 ⁡ t + t 2 s e n 2 t = t 2

v = t 2

v = t

Passo 3

Agora temos os fatores, podemos calcular o unitário,

T = t cos ⁡ t   j + t   s e n   t   j t

T = cos ⁡ t i + s e n   t   j

Bora pro próximo.

Resposta

T = cos ⁡ t i + s e n   t   j

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