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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.3 - Ex. 18

Comprimento é independente da parametrização Para ilustrar que o comprimento de uma curva espacial suave não depende da parametrização utilizada para computá-lo, calcule o comprimento de uma volta da hélice no Exemplo 1 com as seguintes parametrizações.

  1. r t = cos ⁡ 4 t   i + s e n   4 t   j + 4 t   k ,   0 ≤ t ≤ π / 2
  2. r t = cos ⁡ t / 2   i + s e n   t / 2   j + t / 2   k ,   0 ≤ t ≤ 4 π
  3. r t = cos ⁡ t   i - s e n   t   j - t   k ,   - 2 π ≤ t ≤ 0

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora para ais uma rodada de encontrar os comprimentos das curvas.

  1. Vamos fazer aquilo que gostamos, derivar, calcuar o módulo e integrar para achar o comprimento.

    2. v = d d t cos ⁡ 4 t   i + s e n   4 t   j + 4 t   k

    v = - 4 sen ⁡ 4 t   i + 4 c o s   4 t   j + 4 k

    v = - 4 s e n   4 t 2 + 4 c o s   4 t 2 + 4 2

    v = 32

    L = ∫ 0 π / 2 32 d t

    L = 2 π 2

    Passo 2

  2. v = d d t cos ⁡ t / 2   i + s e n   t / 2   j + t / 2   k ,  

    v = - 1 2 sen ⁡ 1 2 t   i + 1 2 c o s 1 2 t   j + 1 2 k

    v = - 1 2 s e n 1 2 t 2 + 1 2 c o s 1 2 t 2 + 1 2 2

    v = 2 2

    L = ∫ 0 4 π 2 2 d t

    L = 2 π 2

    Bora pro próximo.

    Passo 3

v = d d t cos ⁡ t   i - s e n   t   j - t   k  

v = - sen ⁡ t   i - cos ⁡ t   j - k

v = - s e n   t 2 + - cos ⁡ t 2 + ( - 1 ) 2

v = 2

L = ∫ - 2 π 0 2 d t

L = 2 π 2

Bora pro próximo.

Resposta

  1. L = 2 π 2
  2. L = 2 π 2
  3. L = 2 π 2

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