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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 1l

É convergente ou divergente? Justifique.

int_1^(oo) (sqrt(x + 1))/(root(3)(x^6 + x + 1)) d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Para usar o critério de comparação, temos que achar uma desigualdade. Note que

(sqrt(x + 1))/(root(3)(x^6 + x + 1)) = (1)/(x^((4)/(3))) * (sqrt(x + 1))/(root(3)(x^2 + (1)/(x^3) + (1)/(x^4)))

Vamos definir

f (x) = sqrt(x + 1) - root(3)(x^2 + (1)/(x^3) + (1)/(x^4))

A seguir fazemos o esboço do gráfico de f :

Note que para x >= a = 2,596 , temos que f (x) <= 0 . Assim,

sqrt(x + 1) <= root(3)(x^2 + (1)/(x^3) + (1)/(x^4)) => (sqrt(x + 1))/(root(3)(x^2 + (1)/(x^3) + (1)/(x^4))) <= 1

Passo 2

Podemos quebrar a integram em duas:

int_1^(oo) (sqrt(x + 1))/(root(3)(x^6 + x + 1)) d x = int_1^a (sqrt(x + 1))/(root(3)(x^6 + x + 1)) d x + int_a^(oo) (sqrt(x + 1))/(root(3)(x^6 + x + 1)) d x

A primeira integral do lado direito será finita e igual a um número. Para a segunda integral, usaremos que para x >= a

(sqrt(x + 1))/(root(3)(x^6 + x + 1)) <= x^(- (4)/(3))

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

int_a^(oo) x^(- alpha) d x

sempre convergem se alpha > 1 . Neste caso, temos alpha = 4 // 3 , de modo que a integral

int_a^(oo) x^(- (4)/(3)) d x

é convergente.

Passo 3

Assim, a integral

int_a^(oo) (sqrt(x + 1))/(root(3)(x^6 + x + 1)) d x

também será convergente, de modo que

int_1^(oo) (sqrt(x + 1))/(root(3)(x^6 + x + 1)) d x

converge!

Resposta

Converge.

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