É convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!
Para usar o critério de comparação, temos que achar uma desigualdade. Note que
Vamos definir
A seguir fazemos o esboço do gráfico de :
Note que para , temos que . Assim,
Passo 2
Podemos quebrar a integram em duas:
A primeira integral do lado direito será finita e igual a um número. Para a segunda integral, usaremos que para
Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo
sempre convergem se . Neste caso, temos , de modo que a integral
é convergente.
Passo 3
Assim, a integral
também será convergente, de modo que
converge!
Resposta
Converge.