Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 15

Calcule as integrais que convirjam.

int_(- oo)^(+ oo) (x)/((x^2 + 3)^2) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(- oo)^(+ oo) (x)/((x^2 + 3)^2) d x

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(- oo)^(+ oo) (x)/((x^2 + 3)^2) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (x)/((x^2 + 3)^2) d x + underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (x)/((x^2 + 3)^2) d x

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o segundo limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através do método da substituição simples com:

u = x^2 + 3 , t a l q u e d u = 2 x d x

Teremos:

Quando x = b -> u = b^2 + 3

Quando x = 0 -> u = 3

Logo:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (x)/((x^2 + 3)^2) d x = underset(b -> + oo)(lim) int_3^(b^2 + 3) (1)/(u^2) ((d u)/(2))

E resolvendo a integral:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (x)/((x^2 + 3)^2) d x = (1)/(2) underset(b -> + oo)(lim) [- (1)/(u)] | [[b^2,+,3],[3]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (x)/((x^2 + 3)^2) d x = - (1)/(2) underset(b -> + oo)(lim) [(1)/(b^2 + 3) - (1)/(3)]

Logo:

underset(b -> + oo)(lim) int_0^b (x)/((x^2 + 3)^2) d x = (1)/(6)

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (x)/((x^2 + 3)^2) d x = underset(a -> - oo)(lim) int_(a^2 + 3)^3 (1)/(u^2) ((d u)/(2))

E resolvendo a integral:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (x)/((x^2 + 3)^2) d x = (1)/(2) underset(a -> - oo)(lim) [- (1)/(u)] | [[3],[a^2,+,3]]

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (x)/((x^2 + 3)^2) d x = - (1)/(2) underset(a -> - oo)(lim) [(1)/(3) - (1)/(a^2 + 3)]

Logo:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (x)/((x^2 + 3)^2) d x = - (1)/(6)

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

int_(- oo)^(+ oo) (x)/((x^2 + 3)^2) d x = - (1)/(6) + (1)/(6)

Logo:

int_(- oo)^(+ oo) (x)/((x^2 + 3)^2) d x = 0

Resposta

int_(- oo)^(+ oo) (x)/((x^2 + 3)^2) d x = 0

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