Enunciado

1-10. Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde

3. f (t) = {[[(1)/(t) , s e t >= 1],[0 , s e t < 1]])

Passo 1

Como a função f ( t ) é definida por partes, a integral também será, por isso devemos analisar cada expressão que essa integral pode assumir dependendo dos casos (os casos são definidos pelas restrições em t que ditam a lei a função f ( t ) ).

Caso 1: x < 1

Nesse caso, temos que int_(- oo)^x f ( t ) d t = int_(- oo)^x 0 d t

Caso 3: x >= 1

Nesse caso, temos que int_(- oo)^x f ( t ) d t = int_(- oo)^(- 1) 0 d t + int_(- 1)^x (1)/(t) d t

Desta forma, nossa função será definida por:

F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t = {[[int_(- oo)^x 0 d t , s e x < 1],[int_(- oo)^(- 1) 0 d t + int_(- 1)^x (1)/(t) d t , s e x <= 1]])

Calculando as integrais de cada parte da função temos:

F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t = {[[0 , s e x < 1],[ln x - ln |- 1| , s e x <= 1]]) = {[[0 , s e x < 1],[ln x , s e x <= 1]])

Agora basta esboçar cada parte de F ( x ) , em um único gráfico. A primeira parte define um reta horizontal e a segunda parte define uma curva logarítmica.

Resposta

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