As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.

(i) Encontre as coordenadas polares (r, theta) do ponto, onde r > 0 e 0 ≤ θ < 2π .

(ii) Encontre as coordenadas polares (r, θ) do ponto, onde r < 0 e 0 ≤ θ < 2π .

a) (1, 1) b) (2 * raiz(3), -2)

Passo 1

Olá, meu nobre estudante. Vou te ajudar a resolver mais uma atividade hoje.

O problema fornece as coordenadas de dois pontos em coordenadas cartesianas

1,1

2 3 , - 2

e pede para acharmos as coordenadas polares!

Para isso, lembre-se que para isso, vamos utilizar a relação entre coordenadas polares e cartesianas.

x = r cos ⁡ θ

  y = r   s e n   θ  

  r 2 = x 2 + y 2

Assim o que a gente vai fazer é encontrar o valor de r e depois utilizar na equação de x e y para que possamos encontrar o ângulo θ .

Passo 2

Assim, para o primeiro ponto,

r 2 = 1 + 1 = 2

r = 2

Portanto,

cos ⁡ θ = x r = 1 2 = 2 2

s e n   θ = y r = 1 2 = 2 2

O ângulo deve estar no primeiro quadrante:

θ = π 4

Logo, as coordenadas polares desse ponto são

2 , π 4

Para descrever esse ponto com r < 0 , basta somar π no ângulo, isso ficar melhor visualizado no ciclo trigonométrico abaixo:

- 2 , π 4 + π

- 2 , 5 π 4

Passo 3

Basta fazer o mesmo com o segundo ponto:

r 2 = 4 ⋅ 3 + 4 = 16

r = 4

Assim,

cos ⁡ θ = 2 3 4 = 3 2

s e n   θ = - 2 4 = - 1 2

Portanto, vemos que o ângulo está no quarto quadrante:

θ = 11 π 6

4 , 11 π 6

Para r < 0 , se somarmos π obteremos θ > 2 π . Assim, nesse caso vamos subtrair π , ou você pode olhar nesse círculo trigonométrico com os valores de seno e cosseno e seus ângulos, que se com r > 0 estamos em 11 π 6 , para chegarmos a r < 0 , o oposto, é só seguirmos a direção oposta do ponto no círculo trigonométrico, que é o 5 π 6 .

- 4 , 11 π 6 - π

- 4 , 5 π 6

Resposta

2 , π 4                 e               - 2 , 5 π 4

4 , 11 π 6               e               - 4 , 5 π 6

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