Em coordenadas cilíndricas r, θ e z definidas por

a equação de Laplace fica

Mostre que, se u(r, θ, z) = R(r)Θ(θ)Z(z), então R, Θ e Z satisfazem as equações diferenciais ordinárias

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

u r r + 1 r u r + 1 r 2 u θ θ + u z z = 0

Para a função, temos que as condições de contorno são homogêneas.

r 2 R ' ' + r R ' + λ 2 r 2 - n 2 R = 0

Θ ' ' + n ² Θ = 0

Z ' ' + λ ² Z = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

r 2 R ' ' R + r R ' R + λ r 2 = Θ ' ' Θ

r 2 R ' ' R + r R ' R + λ r 2 - n 2 = 0

r 2 R ' ' + r R ' + λ r 2 - n 2 R = 0

Resposta

r 2 R ' ' + r R ' + λ r 2 - n 2 R = 0

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