Exercícios de EDP’s gerais - Lista de Exercícios Resolvida

Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial com condições de contorno abaixo, e encontre as soluções diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo as variáveis e , com as respectivas condições de contorno. (Obs: não é necessário resolver as EDOs.)

para

Mostre que o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação

por um par de equações diferenciais ordinárias. Vale o princípio da superposição para essa equação (uma combinação linear qualquer de soluções também é solução)?

Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado com condições de Neumann:

1. Encontre a solução estacionária para o problema
2. Seja . Descreva o problema de valores de contorno e de valor inicial que é satisfeito por
3. Determine o valor de para todo

Considere a equação de ondas em um meio dispersivo

1. Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma e que satisfaçam .
2. Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais e sendo uma função contínua em , com derivada seccionalmente contínua em e satisfazendo , determinar a solução .

Considere a equação de ondas em um meio dispersivo

1. Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma e que satisfaçam .
2. Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais e sendo uma função contínua em , com derivada seccionalmente contínua em e satisfazendo , determinar a solução .

Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial com condições de contorno abaixo, e encontre as soluções diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo as variáveis e , com as respectivas condições de contorno. (Obs: não é necessário resolver as EDOs.)

para

Determine a solução do problema:

1. Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma e que satisfaçam .
2. Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais e sendo uma função contínua em , com derivada seccionalmente contínua em e satisfazendo , determinar a solução .

Encontre a solução

Da equação diferencial com condições de contorno abaixo:

Mostre que uma função de variáveis separadas

é uma solução da EDP

() se, e somente se, e são soluções das EDOs

para uma constante arbitrária .

Supondo , obtenha a solução do PVIC

pelo método de separação de variáveis, ou seja, usando o resultado do item a), determine funções

satisfazendo a EDP e a condição de contorno

tal que

seja solução, com os coeficientes dados em termos da função .

Calcule a série de Fourier em senos no intervalo da função , ou seja, calcule tal que

Para . Justifique porque esta igualdade vale para todo .

Dado: .

Questão 2: Encontre a solução do problema de valor de contorno

Descreva como você aplica o esquema de separação de variáveis no seguinte problema:

Formule o problema de valores iniciais, sem resolver. Considere que a solução vem dada por e com A seguir formule a forma geral da solução geral.

Seja o problema de valor inicial e de fronteira relativo à equação de onda com força externa:

-Tente uma solução do tipo

Onde são funções a determinar.

- Para fixo, ache a expansão de Fourier em senos para

- Substituindo na equação forçada de onda, obtenha, igualando as séries termo a termo, uma equação diferencial de ordem não-homogênea para .

Utilize a resposta da questão, e determine a solução do PVIF tomando:

Encontre todas as soluções da forma do problema

Dica:

Determine a solução do problema:

Em que:

Questão 4: Encontre todas as soluções da forma do problema

Considere o seguinte problema:

Ache todas as soluções não triviais dessa equação que possam ser escritas na forma

Ache uma solução não trivial que satisfaz

Encontre todas as soluções da forma do problema:

Mostre que o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação

por um par de equações diferenciais ordinárias. Vale o princípio da superposição para essa equação (uma combinação linear qualquer de soluções também é solução)?

Determine a solução do problema

Onde

Resolva o problema:

onde

Encontre a solução do problema

Onde é a função definida por

Encontre todas as soluções do problema

Encontre a solução do seguinte problema de contorno:

onde é a função

Encontra a solução do seguinte problema

onde é a função definida por

Verifique que as funções , , , são soluções da equação de Laplace bidimensional . Construa quatro novas soluções desta equação usando o Princípio de Superposição.

Considere o problema

ED

CF

CI

Onde é uma constante real.

Encontre a solução deste problema.

Considere o problema

ED

CF

CI

Onde é uma constante real.

A condição inicial é satisfeita?

Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções para obtermos soluções fatoradas da forma .

Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções para obtermos soluções fatoradas da forma .

O aluno acha que entendeu o princípio de superposição e faz o seguinte raciocínio:

Como é solução da equação de Laplace bidimensional, então

também é.

Mas a aluna substitui a função na equação e obtém o seguinte.

Ou seja, não é solução da equação. Qual o erro de raciocínio de

Considere o problema

ED

CF

CI

Onde é uma constante real.

Determine para quais valores de existe quando , para todo .

Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções para obtermos soluções fatoradas da forma .

Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer as funções para obtermos soluções fatoradas da forma .

Sem usar a fórmula obtida nas notas de aula, determine todas as soluções fatoradas da equação do calor

que se anulam quando e quando .

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

, onde é uma constante.

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

onde e são funções arbitrárias;

Verifique que a única função da forma satisfazendo é a função nula, calculando os coeficientes e e concluindo que eles devem ser nulos.

Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir:

Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir:

Escreve a forma geral das EDP’s lineares de segunda ordem com função incógnita . Quando a equação será homogênea? Por que você acha que eu não escrevi ela nas notas de aula?

Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.

onde e são funções arbitrárias.

Determine a solução do problema de valor inicial e de fronteira :

Se e são soluções da equação do calor, como você poderia construir infinitas soluções dessa equação usando as soluções acima?

Encontre todas as soluções da forma do problema:

Determine a solução do problema

.

nos casos

Determine a solução do problema

.

nos casos

Determine a solução do problema

.

nos casos

Determine a solução do problema

.

nos casos

Considere a equação

Esta EDP é não linear. Explique porquê.

Considere a equação