Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.5 - Ex. 7b

A equação

é uma generalização da equação de Laplace, algumas vezes denominada equação de Helmholtz.

Considere a equação de Helmholtz no disco r

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

v x x + v y y + k ² v = 0

v r r + 1 r v r + 1 r 2 v Θ Θ + k 2 v = 0

Para a função, temos que:

R r = c 1 J n k r + c 2 Y n ( k r )

  Θ θ = d 1 cos ⁡ n θ + d 2 sin ⁡ n θ

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

v r , θ = c 0 J 0 k r 2 + ∑ J n   k r   b n sin ⁡ n θ + c n cos ⁡ n θ

b n = 1 π J n k c   ∫ f θ sin ⁡ n θ d θ  

c n = 1 π J n k c   ∫ f θ cos ⁡ n θ d θ

Resposta

v r , θ = c 0 J 0 k r 2 + ∑ J n   k r   b n sin ⁡ n θ + c n cos ⁡ n θ

b n = 1 π J n k c   ∫ f θ sin ⁡ n θ d θ  

c n = 1 π J n k c   ∫ f θ cos ⁡ n θ d θ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em coordenadas cilíndricas r, θ e z definidas por a equação de Laplace ficaMostre que, se u(r, θ, z) = R(r)Θ(θ)Z(z), então R, Θ e Z satisfazem as equações diferenciais ordinárias
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se definirmos uma nova variável independente por s = cos φ, então a equação para Φ no item (b) fica
Em coordenadas esféricas ρ, θ e φ (ρ0, 0 ≤ θ a equação de Laplace fica:Mostre que, se u(ρ, θ, φ) = P(ρ)Θ(θ)Φ(φ), então P, Θ e Φ satisfazem equações diferenciais ordinárias da forma.A primeira dessas e
A equação de onda em coordenadas polares é Mostre que, se u(r, q, t) = R(r)Θ(q,)T(t), então R, Θ e T satisfazem as equações diferenciais ordinárias