Enunciado

Se um corpo com W kgf de peso é arrastado por um piso horizontal por uma força de F kgf de magnitude e numa direção que faz com o chão um ângulo de θ rad, F será dada por

F = k W k s e n θ + c o s θ  

Onde k é uma constante chamada de coeficiente de atrito. Se k = 0,5 , ache a taxa de variação instantânea de F em relação a θ quando (a) θ =   π 4 ; (b) θ =   π 2 .

Passo 1

Certo, a questão nos dá a equação de uma força e o coeficiente de atrito k = 0,5 , vamos substituir logo ele na equação, pois trata-se de uma constante:

F = 1 2 W 1 2 s e n θ + c o s θ  

e nos pede a taxa de variação instantânea, ou seja, o quanto que a função varia com θ. Como estamos falando de taxa, precisamos encontrar a derivada da função F:

F ' θ = - 1 2 W 1 2 c o s θ - s e n θ 1 2 s e n θ + c o s θ 2

Passo 2

Beleza, agora que temos a taxa para infinitos valores de θ , precisamos substituir um valor específico que o enunciado nos deu para obter a taxa instantânea. Com o valor da letra (a), escrevemos a nossa derivada como:

F ' π 4 = - 1 2 W 1 2 c o s π 4 - s e n π 4 1 2 s e n π 4 + c o s π 4 2

Agora basta calcular o resultado de F’, primeiro resolvemos os senos e os cossenos:

F ' π 4 = - 1 2 W 1 2 .   2 2 - 2 2 1 2 .   2 2 + 2 2 2

E resolvendo as operações mais básicas:

F ' π 4 = W 2 8 18 16 = W 2 8   .   1 6 1 8 = W 2 9

F ' π 4 = W 2 9

Passo 3

Para a letra (b) é só substituir o valor de θ novamente e resolver a equação com esse novo valor:

F ' π 2 = - 1 2 W 1 2 c o s π 2 - s e n π 2 1 2 s e n π 2 + c o s π 2 2

F ' π 2 = - 1 2 W 1 2 . 0 - 1 1 2   .   1 + 0 2

F ' π 2 = W 1 2 1 4 = W 1 2   .   4 = 2 W

Resposta

  1. F ' π 4 = W 2 9
  2. F ' π 2 = 2 W
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