Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais os valores de c o s x - c o s ⁡ 1 6 π x - 1 6 π quando x é 3 20 π , 19 120 π , 33 200 π , 199 1200 π , 333 2000 π e x é 11 60 π , 7 40 π , 101 600 π , 67 400 π , 1001 6000 π . A que quociente parece tender quando x se aproxima de π 6 ? Ache lim x → π 6 ⁡c o s x - c o s ⁡ 1 6 π x - 1 6 π , interpretando-o como uma derivada.

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 47

Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais os valores de quando x é , , , , e x é , , , , . A que quociente parece tender quando x se aproxima de ?

Ache , interpretando-o como uma derivada.

Passo 1

Bom, a letra a) nos pede para substituir cada valor dado de x na função (chamaremos a função de f(x) para facilitar) do enunciado: , com um resultado de até quatro casas decimais, e então montar uma tabela com esses valores.

Passo 2

Agora vamos substituir o primeiro valor dado na f(x):

Resolvendo primeiro as funções cosseno, lembrando que o arredondamento deve ser feito apenas no final, porque se ficarmos arredondando cada conta que fizermos na calculadora, o resultado pode acabar ficando com precisão diferente (principalmente se o número de casas decimais pedido no exercício for grande):

Calculando o denominador para a forma decimal:

Resolvendo as subtrações e a divisão:

-0,477104272

Passo 3

Com o nosso resultado, devemos então fazer o arredondamento para quatro casas decimais:

-0,4771

Passo 4

Agora, para cada valor de x dado no enunciado, podemos repetir os passos e escrever os resultados em uma tabela:

Os cinco primeiros valores de x se aproximam de e fazem a função f se aproximar de -0,5 por valores menores, e os cinco últimos, se aproximam de -0,5 por valores maiores.

Passo 5

Na letra b) o exercício pede para a gente calcular o limite da função quando x tende para , e interpretar como uma derivada, essa interpretação seria o mesmo que comparar esse limite com a definição da derivada de uma função:

Repare que ela se assemelha muito com o limite que foi colocado no enunciado da letra b):

Agora interpretando como uma derivada seria o mesmo que derivar a função cosseno e então aplicar o valor para o qual x tende:

Para :

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um foguete amador é disparado para o alto e retorna ao chão depois de acabar seu combustível. Descreva a aceleração do foguete e quando o foguete está aumentando ou diminuindo sua velocidade durante o

Um velocímetro numa bicicleta calcula a velocidade escalar da bicicleta medindo o tempo de rotação de uma volta de sua roda. Explique como essa medida pode ser usada para calcular uma velocidade média

Sejam s A = 15 t 2 + 10 t + 20 e s B = 5 t 2 + 40 t , t ≥ 0 , as funções posição dos carros A e B movendo-se ao longo de faixas paralelas retas de uma estrada.Quão adiantado está o carro A em relação

Suponha que as funções posição de duas partículas P 1 e P 2 , movendo-se ao longo de uma mesma reta, sejam s 1 = 1 2 t 2 - t + 3 e s 2 = - 1 4 t 2 + t + 1 respectivamente, com t ≥ 0 .Prove que P 1 e P

Use a regra da cadeia para mostrar que, para uma partícula em movimento retilíneo, a = v d v d s .Seja s = 3 t + 7 ,t ≥ 0 . Encontre uma fórmula para v em termos de s e use a equação de (a) para deter