Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 47
- Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais os valores de quando x é , , , , e x é , , , , . A que quociente parece tender quando x se aproxima de ?
- Ache , interpretando-o como uma derivada.
Passo 1
Bom, a letra a) nos pede para substituir cada valor dado de x na função (chamaremos a função de f(x) para facilitar) do enunciado: , com um resultado de até quatro casas decimais, e então montar uma tabela com esses valores.
Passo 2
Agora vamos substituir o primeiro valor dado na f(x):
Resolvendo primeiro as funções cosseno, lembrando que o arredondamento deve ser feito apenas no final, porque se ficarmos arredondando cada conta que fizermos na calculadora, o resultado pode acabar ficando com precisão diferente (principalmente se o número de casas decimais pedido no exercício for grande):
Calculando o denominador para a forma decimal:
Resolvendo as subtrações e a divisão:
-0,477104272
Passo 3
Com o nosso resultado, devemos então fazer o arredondamento para quatro casas decimais:
-0,4771
Passo 4
Agora, para cada valor de x dado no enunciado, podemos repetir os passos e escrever os resultados em uma tabela:
Os cinco primeiros valores de x se aproximam de e fazem a função f se aproximar de -0,5 por valores menores, e os cinco últimos, se aproximam de -0,5 por valores maiores.
Passo 5
Na letra b) o exercício pede para a gente calcular o limite da função quando x tende para , e interpretar como uma derivada, essa interpretação seria o mesmo que comparar esse limite com a definição da derivada de uma função:
Repare que ela se assemelha muito com o limite que foi colocado no enunciado da letra b):
Agora interpretando como uma derivada seria o mesmo que derivar a função cosseno e então aplicar o valor para o qual x tende:
Para :
