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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 23

Seja s t = t t 2 + 5 a função posição de uma partícula movendo-se ao longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t está em segundos. Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos de s t , v t e a t para t ≥ 0 e use os gráficos quando for necessário.

  1. Use o gráfico apropriado para fazer uma estimativa do instante em que ocorre a primeira reversão do sentido do movimento da partícula e, então, encontre esse instante.
  2. Encontre a posição exata da primeira reversão do sentido do movimento da partícula.
  3. Use o gráfico apropriado para fazer estimativas dos intervalos onde a partícula está aumentando e diminuindo sua velocidade e depois encontre esses intervalos.

Passo 1

Para acha a função velocidade é só derivar a função posição, vamos lá:

v t = s ' t = 1 ⋅ t 2 + 5 - t 2 t 2 - 1 + 0 t 2 + 5 2 = t 2 + 5 - t 2 t t 2 + 5 2 = t 2 + 5 - 2 t 2 t 2 + 5 2 = - t 2 + 5 t 2 + 5 2

E a função aceleração é a derivada da função velocidade, vamos então derivar:

a t = v ' t = - 2 ⋅ t 2 - 1 + 0 t 2 + 5 2 - t 2 + 5 ⋅ 2 ⋅ - t 2 + 5 2 ⋅ t 2 - 1 + 0 t 2 + 5 4 =

= - 2 t t 2 + 5 - - t 2 + 5 ⋅ 2 ⋅ 2 t t 2 + 5 3 = - 2 t 3 - 10 t + 4 t 3 - 20 t t 2 + 5 3 = 2 t 3 - 3 0 t t 2 + 5 3

Temos as três expressões, vamos colocar elas em um gráfico, com s t de vermelho, v t de azul e a t de verde:

Passo 2

  1. Analisando o gráfico de s t vemos que a primeira reversão do sentido do movimento da partícula se dá mais ou menos em x = 2 , vamos encontrar esse instante fazendo v t = 0 :

    2. - t 2 + 5 t 2 + 5 2 = 0 → - t 2 + 5 = 0 → t 2 = 5 → t = 5 = 2,2 3

    Passo 3

  2. Para encontrar a posição exata da primeira reversão do sentido do movimento da partícula é só achar s 5 :

    3. s 5 = 5 5 2 + 5 = 5 5 + 5 = 5 10

    Passo 4

  3. Vamos usar os gráficos da velocidade e da aceleração para fazer estimativas dos intervalos, ela está aumentando se a velocidade e a aceleração tiverem o mesmo sinal; e diminuindo se a velocidade e a aceleração tiverem sinais opostos.

Pelos gráficos, vemos que a partícula deve está acelerando em 2,3 < t < 3,8 e desacelerando em 0 < t < 2,3 e t > 3,8 .

Temos que a velocidade v t > 0 quando 0 < t < 5 e v t < 0 quando t > 5 .

Vamos ver onde a t = 0 :

2 t 3 - 30 t t 2 + 5 3 = 0 → 2 t 3 - 30 t = 0 → t 2 t 2 - 30 = 0 →

t = 0

2 t 2 = 30 → t 2 = 15 → t = 15

Já com a aceleração temos que a t > 0 quando t > 1 5 e a t < 0 quando 0 < t < 1 5 .

Assim a partícula está acelerando em 5 < t < 1 5 e desacelerando em 0 < t < 5 e t > 1 5 .

Resposta

  1. t = 5
  2. s 5 = 5 10
  3. A partícula está acelerando em 5 < t < 15 e desacelerando em 0 < t < 5 e t > 15 .
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