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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 34

Seja s = 1 00 t 2 + 12 a função posição de uma partícula que se move ao longo de uma reta coordenada, onde s está em metros e t está em segundos. Encontre a velocidade escalar máxima da partícula para t ≥ 0 e o sentido do movimento dela quando está com velocidade escalar máxima.

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a expressão da velocidade, derivando s t :

v t = s ' t = 0 ⋅ t 2 + 12 - 100 2 t 2 - 1 + 0 t 2 + 12 2 = - 100 2 t t 2 + 12 2 = - 200 t t 2 + 12 2

Agora vamos achar a t :

a t = v ' t = - 200 t 2 + 12 2 - - 200 t ⋅ 2 ⋅ t 2 + 12 ⋅ 2 t + 0 t 2 + 12 4 =

= - 200 t 2 + 12 - - 200 t ⋅ 2 ⋅ 2 t t 2 + 12 3 = - 200 t 2 - 2400 + 800 t 2 t 2 + 12 3 = 6 00 t 2 - 2400 t 2 + 12 3

Sabemos que em a t = 0 temos um valor crítico, que pode ter uma velocidade máxima, vamos analisar os valores dos extremos do intervalo junto com o valor que vamos encontrar:

a t = 0 → 600 t 2 - 2400 t 2 + 12 3 = 0 → 600 t 2 - 2400 = 0 → t 2 = 4 → t = 2

Passo 2

Temos que a velocidade escalar é dada por:

v t = - 200 t t 2 + 12 2

Vamos então calcular as velocidades escalares nos extremos do intervalo e no valor crítico encontrado, e comparar qual é a máxima:

v 0 = - 200 ⋅ 0 0 2 + 12 2 = 0 = 0

v 2 = - 200 ⋅ 2 2 2 + 12 2 = - 4 00 1 6 2 = - 400 256 = - 1,6 = 1 , 6

Assim a velocidade escalar máxima no intervalo t ≥ 0 é de 1 , 6 m/s.

E o sentido do movimento dela quando está com velocidade escalar máxima é para esquerda, porque a velocidade é negativa.

Resposta

1,6 m/s para a esquerda

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