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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 23

20 . A c h e f^((5)) (x) s e f (x) = cos (2 x) - s e n ( 2 x )

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 5 precisamos ter em mente duas coisas:

1 -Teremos que fazer 5 derivadas. Uma da função dada e quatro das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 - Derivaremos as funções usando a regra da cadeia.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

f^' (x) = (c o s 2 x)^' - ( s e n 2 x ) '

= (- s e n 2 x) * 2 - c o s 2 x * 2

= - 2 s e n 2 x - 2 c o s 2 x

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 para derivar.

f^(' ' (x)) = [ (- 2)^' * s e n 2 x + ( - 2 ) * ( s e n 2 x ) ' ] - [ (2)^' * c o s 2 x + 2 * ( c o s 2 x ) ' ]

= [- 2 * c o s 2 x * 2] - [2 * (- s e n 2 x) * 2]

= - 4 * c o s 2 x + 4 * s e n 2 x

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 para derivar.

f^(' ' ' (x)) = [ (- 4)^' * c o s 2 x + ( - 4 ) * ( c o s 2 x ) ' ] + [ (4)^' * s e n 2 x + 4 * ( s e n 2 x ) ' ]

= [- 4 * (- s e n 2 x) * 2] + [4 * c o s 2 x * 2]

= 8 * s e n 2 x + 8 * c o s 2 x

Passo 5

4ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 4 para derivar.

f^((4)) (x) = [ (8)^' * s e n 2 x + 8 * ( s e n 2 x ) ' ] + [ (8)^' * c o s 2 x + 8 * ( c o s 2 x ) ' ]

= [8 * c o s 2 x * 2] + [8 * (- s e n 2 x) * 2]

= 16 * c o s 2 x - 16 * s e n 2 x

Passo 6

5ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 5 para derivar.

f^((5)) (x) = [ (16)^' * c o s 2 x + 16 * ( c o s 2 x ) ' ] - [ (16)^' * s e n 2 x + 16 * ( s e n 2 x ) ' ]

= [16 * (- s e n 2 x) * 2] - [16 * c o s 2 x * 2]

= - 32 * s e n 2 x - 32 * c o s 2 x

Passo 7

Prontinho, fizemos as quatro derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 4 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

f^((5)) (x) = - 32 ( s e n 2 x + c o s 2 x )

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