Ache f^(5)(x) se f(x) = cos(2x) - sen(2x)

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 5 precisamos ter em mente duas coisas:

1 -Teremos que fazer 5 derivadas. Uma da função dada e quatro das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 - Derivaremos as funções usando a regra da cadeia.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

f ' x =   c o s 2 x ' - ( s e n 2 x ) '

                      = - s e n 2 x ⋅ 2 - c o s 2 x ⋅ 2

                      = - 2   s e n 2 x - 2   c o s 2 x  

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 para derivar.

f ' ' x = [ - 2 ' ⋅ s e n 2 x + ( - 2 ) ⋅ ( s e n 2 x ) ' ] - [ 2 ' ⋅ c o s 2 x + 2 ⋅ ( c o s 2 x ) ' ]

                      = - 2 ⋅ c o s 2 x ⋅ 2 - 2 ⋅ - s e n 2 x ⋅ 2

                      = - 4 ⋅ c o s 2 x + 4 ⋅ s e n 2 x

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 para derivar.

f ' ' ' x =   [ - 4 ' ⋅ c o s 2 x + ( - 4 ) ⋅ ( c o s 2 x ) ' ] + [ 4 ' ⋅ s e n 2 x + 4 ⋅ ( s e n 2 x ) ' ]

                        = - 4 ⋅ - s e n 2 x ⋅ 2 + 4 ⋅ c o s 2 x ⋅ 2

                        = 8 ⋅ s e n 2 x + 8 ⋅ c o s 2 x

Passo 5

4ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 4 para derivar.

f 4 x = [ 8 ' ⋅ s e n 2 x + 8 ⋅ ( s e n 2 x ) ' ] + [ 8 ' ⋅ c o s 2 x + 8 ⋅ ( c o s 2 x ) ' ]

                              = 8 ⋅ c o s 2 x ⋅ 2 + 8 ⋅ - s e n 2 x ⋅ 2

                              = 16 ⋅ c o s 2 x - 16 ⋅ s e n 2 x

Passo 6

5ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 5 para derivar.

f 5 x = [ 16 ' ⋅ c o s 2 x + 16 ⋅ ( c o s 2 x ) ' ] - [ 16 ' ⋅ s e n 2 x + 16 ⋅ ( s e n 2 x ) ' ]

                              = 16 ⋅ - s e n 2 x ⋅ 2 - 16 ⋅ c o s 2 x ⋅ 2

                              = - 32 ⋅ s e n 2 x - 32 ⋅ c o s 2 x

Passo 7

Prontinho, fizemos as quatro derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 4 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

f 5 x = - 32 ( s e n 2 x + c o s 2 x )

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