Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 50
50. Prove que a soma dos interceptos de qualquer reta tangente à curva
é constante e igual a k
Passo 1
Neste caso devemos ter em mente que a reta tangente à curva num ponto (x0,y0) qualquer é dada pela seguinte expressão
Onde a é o coeficiente angular da reta tangente e pode ser obtido a partir da derivada da função dada. Para derivar a função, pode-se utilizar do conceito de derivação implícita que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice – versa.
Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens
- Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
- Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
- Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.
Passo 2
Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a ) é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim
Passo 3
Então, a equação da reta tangente à curva num ponto qualquer (x0,y0) será
Sabemos que a soma de dois interceptos qualquer é dada por
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)