50. Para a função do Exercício 48, ache f'''(x) quando ela existir.

Passo 1

Para fazer exercício basta derivar mais uma vez a seguinte expressão:

f ' ' x = 6 x 2 x

Usaremos a regra do quociente para derivar a função.

Regra do quociente:

f x g x ' =   f x ' ⋅ g ( x ) - g x ' ⋅ f ( x ) g ( x ) 2

Passo 2

Derivando a função:

f ' ' x = 6 x 2 x

f ' ' ' x = 6 x 2 ' ⋅ | x | - | x | ' ⋅ 6 x 2 | x | 2

Passo 3

Para continuarmos o processo de derivação precisamos calcular a derivada de módulo de x. Para calcularmos vamos usar um seguinte truque:

x = x 2

Sabendo isso, basta derivar x 2 que é bem mais intuitivo que a função módulo.

x 2 ' = 1 2 x 2 ⋅ 2 x = x x 2 = x x

Sabendo isso podemos prosseguir com a derivação.

Passo 4

Continuando a derivação:

f ' ' ' x = 12 x x - x x ⋅ 6 x 2 x 2

                          = 1 2 x x - 6 x 3 x x 2

                        = 1 2 x x 2 - 6 x 3 x 2 ⋅ x

                      = 1 2 x ⋅ x 2 - 6 x 3 x 2 x = 6 x 3 x 2 x = 6 x x

Resposta

Assim ficamos com:

f ' ' ' x = 6 x x   p a r a   x ≠ 0

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