Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 51
51. Seja a função potência definida por , onde é um número racional qualquer. Supondo que seja derivável, use a derivação implícita para mostrar que
Passo 1
Nesta questão devemos utilizar o conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.
Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens
- Derivar ambos os lados da igualdade;
- Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
- Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.
Além disso, devemos utilizar a sugestão que ele nos da no enunciado de substituir f(X) por y.
Passo 2
Como temos que , podemos escrever então . Como isso, temos também que .
Passo 3
Derivando a equação dada e utilizando o item 2 mostrado acima vem
Como , temos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)