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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.5 - Ex. 29

Crescimento populacional: A população de Knoxville é de 500.000, e cresce uma taxa de 3,75% ao ano. Quando, aproximadamente, a população atingirá 1 milhão?

Passo 1

Precisamos descobrir quantos anos a população da cidade atingirá 1 milhão de habitantes. Para isto, devemos descobrir inicialmente qual é o modelo matemático que se enquadra nesta questão de crescimento. Este será o ponto mais difícil desta questão. Sendo assim, vamos analisar a modelagem calmamente.

Passo 2

Seja X a quantidade de habitantes e q a taxa com que a população de uma cidade cresce ao ano. Então, após passar 1 ano, teremos a seguinte quantidade de habitantes:

H a b i t a n t e s   a p ó s   1   a n o = X ⋅ ( 1 + q )

Agora, ao passarmos mais 1 ano, esta nova população crescerá novamente a uma taxa q . Logo, teremos:

H a b i t a n t e s   a p ó s   2   a n o s = X ⋅ 1 + q ⋅ ( 1 + q )

H a b i t a n t e s   a p ó s   2   a n o s = X ⋅ 1 + q 2

Se continuarmos a sequência, perceberemos que a equação que rege o nosso problema é:

H a b i t a n t e s   a p ó s   n   a n o s = X ⋅ 1 + q n

Passo 3

Substituindo os dados inicias da questão no modelo que definimos, teremos então a seguinte equação:

H a b i t a n t e s   a p ó s   n   a n o s = 500000 ⋅ 1 + 0.0375 n

H a b i t a n t e s   a p ó s   n   a n o s = 500000 ⋅ 1.0375 n

Passo 4

Devemos então descobrir o valor de n tal que:

1000000 = 500000 ⋅ 1.0375 n

1.0375 n = 2

Utilizando uma calculadora para ajudar nos cálculos, obtemos que:

n = 18,82   a n o s

Resposta

n = 18,82   a n o s

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