Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.5 - Ex. 30
Crescimento populacional: A população de Silver Run, no ano de 1890, era 6250 habitantes. Suponha que a população tenha crescido a uma taxa de 2,75% ao ano.
- Estime os números de habitantes em 1915 e 1940.
- Quando, aproximadamente, a população alcançou os 50000 habitantes?
Passo 1
Esta é uma questão que trabalha com funções de crescimento. Precisamos determinar duas coisas: a população em determinados anos e quantos anos serão necessários para atingir uma determinada quantidade de habitantes. Sendo assim, para resolver ambos os quesitos, nós só necessitamos de uma coisa: descobrir qual modelo matemático se enquadra neste problema.
E como conseguiremos determinar este modelo? Existe algum modelo pronto? Vamos analisar o que acontece ano a ano calmamente e assim obteremos nosso modelo.
Passo 2
Seja a quantidade de habitantes e a taxa com que a população de uma cidade cresce ao ano. Então, após passar 1 ano, teremos a seguinte quantidade de habitantes:
Agora, ao passarmos mais 1 ano, esta nova população crescerá novamente a uma taxa . Logo, teremos:
Se continuarmos a sequência, perceberemos que a equação que rege o nosso problema é:
Passo 3
Após obtermos o modelo que rege o nosso problema, vamos começar resolvendo a letra . Portanto, queremos determinar o número de habitantes em 1915 e em 1940 . Sendo assim, temos:
Desta forma, é estimado que em 1915 haja 12315 habitantes e em 1940 seja 24265 habitantes.
Passo 4
Agora, resolveremos a letra . Nesta pergunta, nós já sabemos qual a quantidade estimada de habitantes. A grande questão é: quantos anos serão necessários para atingir esta quantidade? Isto é, qual o valor de ? Substituindo na equação, temos:
Utilizando uma calculadora para ajudar nos cálculos, obtemos que:
Após descobrirmos o valor de , chegamos na solução da questão? Não! A pergunta pede em que ano isto deve ocorrer, não quantos anos precisa passar para que isto aconteça. Sendo assim, basta somar o valor de com . Sendo assim, temos:
Resposta
- Em 1915 devemos ter 12315 habitantes e em 1940 teremos 24265 habitantes.
- Em 1966.65 devemos ter 50000 habitantes.