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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 20

Curvatura total

Encontramos a curvatura total da parte de uma curva suave que vai de s = s0 a s = s1 > s0 integrando κ de s0 a s1. Se a curva possui outro parâmetro, digamos t, então a curvatura total é

K = ∫ s 0 s 1 κ d s = ∫ t 0 t 1 κ d s d t d t = ∫ t 0 t 1 κ v d t

em que t0 e t1 correspondem a s0 e s1. Encontre as curvaturas totais da

  1. parte da hélice r(t) = (3 cos t)i + (3 sen t)j + tk, 0
  2. parábola y = x2, - ∞ < x < ∞ .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre curvatura e vetores normais.

Item a

A partir do enunciado e de exemplos resolvidos, sabemos que a curvatura da hélice é:

r t = a cos ⁡ t   i + a s e n   t j + b t k ,   c o m   a , b ≥ 0   o n d e   κ = a a 2 + b 2

Daí, temos que:

r t = 3 cos ⁡ t   i + 3 s e n   t j + t k = > a = 3   e   b = 1

O módulo de v é:

v = 3 2 + 1 2 = 10

E a curvatura:

κ = 3 3 3 + 1 2 = 3 10

Substituindo na integral teremos:

K = ∫ 0 4 π 3 10 ∙ 10 d t = 3 10 10 t | 0 4 π = 3 10 10 ∙ 4 π = 5 π 10 6

Passo 2

Item b

Temos que:

x = t = > y = t 2 = > r t = t i + t 2 j

Derivando:

v = i + 2 t j = > v = 1 2 + 2 t 2 = 1 + 4 t 2

Daí, teremos que:

T = 1 1 + 4 t 2 i + 2 t 1 + 4 t 2 j = > d T d t = - 4 t 1 + 4 t 2 3 / 2 i + 2 1 + 4 t 2 3 / 2 j

= > d T d t = 16 t 2 + 4 1 + 4 t 2 3 = 2 1 + 4 t 2

Então:

κ = 1 1 + 4 t 2 ∙ 2 1 + 4 t 2 = 2 1 + 4 t 2 3

E:

K = ∫ - ∞ ∞ 2 1 + 4 t 2 3 1 + 4 t 2 d t = ∫ - ∞ ∞ 2 1 + 4 t 2   d t =

= lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 2 1 + 4 t 2 d t + lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 2 1 + 4 t 2 d t = lim a → - ∞ ⁡ a r c   t g   2 t | a 0 + lim b → ∞ ⁡ a r c   t g   2 t | 0 b =

= lim a → - ∞ ⁡ - a r c   t g   2 a + lim b → ∞ ⁡ a r c   t g   2 b = π 2 + π 2 = π

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.

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