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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 21

Encontre uma equação para o círculo de curvatura da curva r(t) = ti + (sen t)j no ponto (π/2, 1). (A curva parametriza o gráfico de y = sen x no plano xy).

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre curvatura e vetores normais.

A partir do enunciado derivamos r:

v t = i + cos ⁡ t j = > v = 1 2 + c o s 2   t

No ponto indicado:

v π 2 = 1 2 + c o s 2   π 2 = 1

Daí:

T = v v = i + cos ⁡ t j 1 2 + c o s 2   t = > d T d t = s e n   t cos ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t 3 / 2 i + - s e n   t 1 + cos 2 ⁡ t 3 / 2 j

= > d T d t = s e n   t 1 + cos 2 ⁡ t ,   q u e   n o   p o n t o   i n d i c a d o   f i c a :   d T π 2 d t = s e n   π 2 1 + cos 2 ⁡ π 2 = 1

Então:

κ π 2 = 1   e   o   c e n t r o   é   π 2 , 0

A equação fica:

x - π 2 2 + y 2 = 1

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

x - π 2 2 + y 2 = 1

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