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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 33

Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 31-34 em torno dos eixos indicados.

x = t + 2 ; y = t 2 2 + t 2 ; - 2 ≤ t ≤ 2 ; e i x o   y

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 2 sobre áreas de superfícies.

A partir do enunciado derivamos implicitamente x e y:

d x d t = 1   e   d y d t = t + 2

Daí, temos:

d s = d x d t 2 + d y d t 2 = 1 2 + t + 2 2 = t 2 + 2 t 2 + 3

A área pedida é dada por:

A = ∫ - 2 2 2 π ∙ t + 2 ∙ t 2 + 2 t 2 + 3 d t

Passo 2

Fazendo a substituição:

u = t 2 + 2 t 2 + 3 = > d u = 2 t + 2 2 d t

Os limites de integração ficam:

t = - 2 = > u = 1   e   t = 2 = > u = 9

A área fica:

A = π ∫ 1 9 u d u = 2 3 π u 2 / 3 | 1 9 = 2 3 π 9 2 / 3 - 1 2 / 3

= > A = 52 π 3

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

A = 52 π 3

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