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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 22

Encontre uma equação para o círculo de curvatura da curva r(t) = (2 ln t)i – [t + (1/t)]j, e - 2 ≤ t ≤ e 2 , no ponto (0, –2), em que t = 1.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre curvatura e vetores normais.

A partir do enunciado derivamos r:

v t = 2 t   i - 1 - 1 t 2 j = > v = 2 t 2 + - 1 - 1 t 2 2 =

= 4 t 2 + 1 - 2 t 2 + 1 t 4 = t 2 + 1 t 2

Daí, temos que:

T = v v = 2 t t 2 + 1 i - t 2 - 1 t 2 + 1 j = > d T d t = - 2 t 2 - 1 t 2 + 1 2 i - 4 t t 2 + 1 2 j

= > d T d t = 4 t 2 - 1 2 + 16 t 2 t 2 + 1 4 = 2 t 2 + 1

Então:

κ = 1 v d T d t = t 2 t 2 + 1 ∙ 2 t 2 + 1 = 2 t 2 t 2 + 1 2 = > κ 1 = 2 2 2 = 1 2   e   ρ = 1 κ = 2

A curvatura do círculo é tangente à curva em:

P   0 ,   - 2

O círculo tem a mesma tangente que a curva:

v 1 = 2 i

Teremos então:

t - 1 2 > 0 = > t 2 - 2 t + 1 > 0 = > t 2 + 1 > 2 t = > t 2 + 1 t > 2

A curva tem concavidade para baixo com centro em (0, -4), e a equação pedida é:

x 2 + y + 4 2 = 4

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

x 2 + y + 4 2 = 4

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