Sejam y = f_1(u) , u = f_2(v) , v = f₃(w) e w = f₄(x) . Expresse dy/dx em termos de dy/du , dw/dx , du/dv e d(v) / d(w) .

Passo 1

Nesse exercício temos uma sopa de letrinhas!! Um monte de letras que não acaba mais :D Mas não se desespere. Com calma, tudo dá certo.

Passo 2

Queremos calcular d y // d x , correto? Pela regra da cadeia, temos que:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) (d u)/(d x)

Temos o valor de d y // d u mas não de d u // d x . Assim, vamos aplicar novamente a regra da cadeia:

(d u)/(d x) = (d u)/(d v) (d v)/(d x)

Temos d u // d v mas não d v // d x ... mais uma regra da cadeia:

(d v)/(d x) = (d v)/(d w) (d w)/(d x)

Ufa... agora temos d v // d w d d w // d x . Assim, “juntando” tudo que obtemos, temos

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d v) * (d v)/(d w) * (d w)/(d x)

Resposta

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d v) * (d v)/(d w) * (d w)/(d x)

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