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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 82

Sejam y = f_1 (u) , u = f_2 (v) , v = f_3 (w) e w = f_4 (x) . Expresse d y // d x em termos de d y // d u , d w // d x , d u // d v e d v // d w .

Passo 1

Nesse exercício temos uma sopa de letrinhas!! Um monte de letras que não acaba mais :D Mas não se desespere. Com calma, tudo dá certo.

Passo 2

Queremos calcular d y // d x , correto? Pela regra da cadeia, temos que:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) (d u)/(d x)

Temos o valor de d y // d u mas não de d u // d x . Assim, vamos aplicar novamente a regra da cadeia:

(d u)/(d x) = (d u)/(d v) (d v)/(d x)

Temos d u // d v mas não d v // d x ... mais uma regra da cadeia:

(d v)/(d x) = (d v)/(d w) (d w)/(d x)

Ufa... agora temos d v // d w d d w // d x . Assim, “juntando” tudo que obtemos, temos

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d v) * (d v)/(d w) * (d w)/(d x)

Resposta

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d v) * (d v)/(d w) * (d w)/(d x)

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Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x) y = s e n ( u ) u = x - cos x
Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x) y = t g ( u ) u = 10 x - 5
Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x) y = cos u u = - x // 3
Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x) y = 2 u^3 u = 8 x - 1
Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x) y = cos u u = s e n (x)