Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 18
Escreva as funções na forma e . Em seguida, determine em função de .
Passo 1
Agora sim os exercícios começam a ficar mais interessantes! Precisamos pegar a nossa dada e, a partir dela, obter funções e tais que:
Desta forma, precisamos visualizar a nossa função como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:
Portanto, somente após descobrirmos quem é e poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.
O procedimento para a obtenção das funções e é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa em . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!
Passo 2
Vamos começar por determinar quem é e . Para isto, vamos reescrever a nossa função:
O termo “mais interno” é . Se fizermos e substituirmos na função acima, obtemos:
E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções e são:
Passo 3
Agora que determinamos quais são as funções e , podemos enfim começar a determinar a derivada Vamos começar por determinar a derivada da função . Sendo assim, temos:
Passo 4
Vamos determinar agora a derivada da função . Sendo assim, temos:
Passo 5
Vamos fazer a composição de com , isto é, obter . Para isto, basta substituir em todo na função . Portanto, temos:
Passo 6
O que nos falta é multiplicar por para obtermos a derivada . Portanto, a resposta final do nosso problema é: