54- Dado que m e n são inteiros positivos, mostre que:

∫ 0 1 x m 1 - x n d x =   ∫ 0 1 x n 1 - x m d x

Fazendo uma substituição. Não tente calcular as integrais.

Passo 1

Galera, vamos começar esse exercício fazendo a nossa substituição:

u = 1 - x

d u = - d x

Consequentemente:

x = 1 - u

Dessa forma,

Quando x = 0 , u = 1 e se x = 1 ,   u = 0 .

Fazendo a substituição:

∫ 0 1 x m 1 - x n d x =     ∫ 1 0 1 - u m u n   ( - d u )  

= - ∫ 1 0 1 - u m   u n d u

= ∫ 0 1 1 - u m   u n d u

Você pode estar se perguntando....

Mas porque o sinal de menos sumiu e os extremos da integral foram invertidos ???

Galerisss, existe uma propriedade das integrais que nos permite inverter os extremos de integração:

∫ a b f x d x = - ∫ b a f x d x

Aiiii, tem mais uma coisa:

No início tínhamos uma variável x , agora temos uma variável u . Como os extremos de integração permanecem os mesmos, a nós podemos dizer isso aqui:

∫ 0 1 x m 1 - x n d x =   ∫ 0 1 x n 1 - x m d x

Resposta

Demonstração acima.

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