56- Dado que n é um número inteiro positivo, calcule a integral

∫ 0 1 x   1 - x n d x

Passo 1

Não muito diferente das questões anteriores vamos começar com uma substituição:

1 - x = u

d u = - d x

Consequentemente:

x = 1 - u

Fazendo a substituição:

- ∫ 0 1 ( 1 - u )   u n d u

- ∫ 0 1 u n - u n + 1 d u =   u n + 2 n + 2 0 1 - u n + 1 n + 1 0 1

Desfazendo a substituição:

1 - x n + 2 n + 2 0 1 - ( 1 - x ) n + 1 n + 1 0 1 =   1 n + 2 n + 2 + 1 n + 1 n + 1

Sendo n um número inteiro positivo, temos:

1 n + 2 + 1 n + 1 = n + 1 + n + 2 n + 1 n + 2 = 2 n + 3 n + 1 n + 2

Fim

Resposta

2 n + 3 n + 1 n + 2

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