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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 41

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

41. ∫ π 12 π 9 s e c 2 3 θ d θ

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ π 12 π 9 s e c 2 3 θ d θ

A substituição que iremos utilizar é:

u = 3 θ

Encontrando a relação entre d θ e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = 3 d θ

∴ d u 3 = d θ

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ π 12 π 9 s e c 2 3 θ d θ = 1 3 ∫ π 12 π 9 s e c 2 u d u

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos alterar os intervalos de integração utilizando a expressão u θ que encontramos no passo anterior, se liga:

u = 3 θ

u π 9 = 3 . π 9 = π 3

u π 12 = 3 . π 12 = π 4

Logo:

1 3 ∫ π 12 π 9 s e c 2 u d u = 1 3 ∫ π 4 π 3 s e c 2 u d u

Passo 3

Ok, agora sim resolvendo nossa integral, teremos:

1 3 ∫ π 4 π 3 s e c 2 u d u = 1 3 t g   u π 3 π 4

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

1 3 ∫ π 4 π 3 s e c 2 u d u = 1 3 t g   π 3 - t g   π 4

∴ ∫ π 12 π 9 s e c 2 3 θ d θ = 1 3 3 - 1

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ π 12 π 9 s e c 2 3 θ d θ = 1 3 3 - 1

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