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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 19

19-22. Calcule a integral definida expressando-a em termos de u e calculando a integral resultante usando uma fórmula de Geometria.

19. ∫ - 5 3 5 3 25 - 9 x 2 d x ; u = 3 x

Passo 1

Então galera, a integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ - 5 3 5 3 25 - 9 x 2 d x

E nossa substituição é:

u = 3 x

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = 3 d x

∴ d u 3 = d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ - 5 3 5 3 25 - 3 x 2 d x = 1 3 ∫ - 5 3 5 3 25 - u 2 d x

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

O que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = - 5 3 e x = 5 3 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u - 5 3 = 3 . - 5 3 = - 5

u 5 3 = 3 . 5 3 = 5

Logo, nossa integral será:

∫ - 5 3 5 3 25 - 3 x 2 d x = 1 3 ∫ - 5 5 25 - u 2 d x

Passo 3

Na integral que chegamos no passo anterior há uma informação bastante implícita, galera! O gráfico do nosso integrando y = 25 - u 2 é o semicírculo superior de raio 5 e centro na origem; sendo assim, a região é metade de um círculo inteiro estendendo-se de x = - 5 até x = 5 , ou seja:

1 3 ∫ - 5 5 25 - u 2 d x = 1 3 1 2 . Á r e a   d o   c í r c u l o

1 3 ∫ - 5 5 25 - u 2 d x = 1 3 1 2 . π R 2 = 1 6 . π . 5 2

∴ 1 3 ∫ - 5 5 25 - u 2 d x = 25 π 6

E essa é a nossa resposta, pessoal! Vale ressaltar que a integral foi resolvida pensando na geometria do problema e não em uma técnica de fato, ok? 😊

Resposta

∫ - 5 3 5 3 25 - 9 x 2 d x = 25 π 6

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