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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 52

Demonstre que

(a xx b) * (c xx d) = |[[a,*,c,b,*,c],[a,*,d,b,*,d]]|

Passo 1

Vamos definir o nosso vetor (c xx d) como sendo

(c xx d) = v

Assim, podemos dizer que

(a xx b) * (c xx d) = (a xx b) * v

Passo 2

Da propriedade 5 do teorema 8, podemos fazer:

(a xx b) * v = a * ( b xx v )

E como

(c xx d) = v

Temos que

(a xx b) * v = a * (b xx v) = a * [b xx (c xx d)]

Passo 3

Aí agora é que entra a puta falta de sacanagem do livro. Vamos ter que usar uma parada que falou láaaa na outra questão, sem essa questão ter falado nada sobre isso... Pois é, temos que adivinhar que é pra fazer isso..

Enfim, depois de quebrar a cabeça e ser iluminado pelos céus para adivinhar que temos que usar o resultado de outra questão nessa questão, pegamos, do exercício 46 que

b xx (c xx d) = (b * d) c - (b * c) d

Substituindo isso ali em cima:

(a xx b) * v = a * (b xx v) = a * [b xx (c xx d)] = a * [(b * d) c - (b * c) d]

Passo 4

Desenvolvendo e usando as propriedades do produto escalar:

a * [(b * d) c - (b * c) d] = (b * d) (a * c) - ( b * c ) ( a * d )

E isso, meus caros, é exatamente o determinante

|[[a,*,c,b,*,c],[a,*,d,b,*,d]]|

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(a xx b) * (c xx d) = |[[a,*,c,b,*,c],[a,*,d,b,*,d]]|

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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