Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 1

Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

Passo 1

Nesse exercício devemos descobrir se o produto vetorial ( a × b ) é ortogonal tanto à a quanto à b , mas o quê quer dizer um vetor ser ortogonal à outro? Para ser ortogonal o ângulo formado entre eles deve ser 90 ° , sabendo disso é correr pro abraço...

Temos a = 1,2 , 0 = 1 i + 2 j + 0 k b = 0,3 , 1 = 0 i + 3 j + 1 k   , agora vamos fazer o produto vetorial:

a × b =   i j k 1 2 0 0 3 1 = i ∙ 2 ∙ 1 + j ∙ 0 ∙ 0 + k ∙ 3 ∙ 1 - i ∙ 0 ∙ 3 + j ∙ 1 ∙ 1 + k ∙ 2 ∙ 0 =

= 2 i + 0 j + 3 k - 0 i - 1 j - 0 k =

= 2 i - 1 j + 3 k

Passo 2

Agora vamos descobrir se o vetor a é ortogonal ao vetor a × b . Para isso façamos o produto escalar entre eles, porque sabemos que se o ângulo for de 90 ° o produto escalar será 0 . Para calcularmos a ∙ b precisamos lembrar da definição do produto escalar. Se a = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 ) e b = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 ) ; o produto escalar entra a e b é dado por:

a ∙ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a b cos ⁡ α

a × b ∙ a = 2 , - 1,3 ∙ 1,2 , 0 =

= 2 ∙ 1 + - 1 ∙ 2 + 3 ∙ 0 = 0

Passo 3

Temos que a × b = 2 2 + ( - 1 ) 2 + 3 2 = 14 a = 1 2 + 2 2 + 0 2 = 5 ; sabemos que:

a × b ∙ a = 14 ∙ 5 cos ⁡ α 0 →

→ 14 ∙ 5 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Passo 4

Agora queremos descobrir se o vetor b também é ortogonal ao vetor a × b , para isso vamos usar os mesmos conceitos que usamos para descobrir se a era ortogonal.

a × b ∙ b = a × b b cos ⁡ α

a × b ∙ b = 2 , - 1,3 ∙ 0,3 , 1 =

= 2 ∙ 0 + - 1 ∙ 3 + 3 ∙ 1 = 0

Passo 5

Temos que a × b = 2 2 + ( - 1 ) 2 + 3 2 = 14 b = 0 2 + 3 2 + 1 2 = 10 ; sabemos que:

a × b ∙ b = 14 ∙ 10 cos ⁡ α 0 →

→ 14 ∙ 10 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Resposta

2 i - 1 j + 3 k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, use o resultado do Exercício 36 V = 1 6 a → ∙ b → × c → para encontrar o volume do tetaedro de vértices P , Q , R e S . a )P 0 , 0 , 0 , Q 1 , 2 , - 1 , R 3 , 4 , 0 , S - 1 , - 3 , 4
Prove a parte (b) do Teorema 3.5.2
Prove a parte (d) do Teorema 3.5.2
É um teorema da Geometria Sólida que o volume de um tetraedro é dado por 1 3 á r e ad ab a s e ∙ ( a l t u r a ) á . Use esse resultado para provar que que o volume de um tetraedro cujos lados são so
Prove a parte (c) do Teorema 3.5.2