Enunciado

Mostre que, se uma partícula se move com velocidade escalar constante, então os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.

Passo 1

Fala pessoal! Tudo tranquilo? Vamos começar a resolver?

Esta é uma questão de demonstração, isso significa que teremos que lidar com manipulações matemáticas. Nosso objetivo é mostrar que se a velocidade for constante os vetores velocidade e aceleração serão ortogonais.

Como podemos fazer isso?

Você deve se lembrar lá da parte de vetores, quando dois vetores são ortogonais, o produto escalar entre eles é zero.

v t ∙ a t = 0

Bom, é isso só resolver!

Passo 2

Seja r(t) a posição da partícula em função do tempo t . A velocidade v t é o vetor derivado de r ( t ) :

v t = d d t r ( t )

A aceleração a ( t ) é o vetor derivado da velocidade:

a t = d d t v ( t )

Passo 3

Vamos pensar juntos!!! A partícula se move com velocidade escalar constante. Isso significa que o módulo da velocidade | v ( t ) | é constante no tempo. Vamos então escrever

v t = v 0

Para que v ( t ) e a ( t ) sejam ortogonais, vamos mostrar que o produto escalar entre esses vetores é zero.

v t ∙ a t = 0

Sabemos que o módulo da velocidade ao quadrado é constante.

v t 2 = v 0 2

Vamos começar derivando ambos os lados dessa equação em relação ao tempo t

d d t v t ∙ v t = d d t v 0 2

Passo 4

No lado direito, a derivada de uma constante é zero.

d d t v 0 2 = 0  

No lado esquerdo, aplicamos a regra do Produto

d d t u t ∙ v t = d d t u t ∙ v t + u t ∙ d d t v t

No nosso caso u t = v ( t ) e v t = v ( t )

O b s :   v t = v e l o c i d a d e  

d d t u t ∙ v t = d d t v t ∙ v t + v t ∙ d d t v t

Temos dois termos iguais, podemos então somar.

d d t v t ∙ v t + v t ∙ d d t v t = 2 d d t v t ∙ v t

Sendo assim,

d d t v t ∙ v t = 2   v t ∙ a t

Sendo assim

2 v t ∙ a t = 0

Ou melhor

v t ∙ a t = 0

Demonstramos então que os vetores velocidade v ( t ) e aceleração a ( t ) são ortogonais.

Resposta

Questão demonstração

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