Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.4 - Ex. 22
Mostre que, se uma partícula se move com velocidade escalar constante, então os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
Passo 1
Fala pessoal! Tudo tranquilo? Vamos começar a resolver?
Esta é uma questão de demonstração, isso significa que teremos que lidar com manipulações matemáticas. Nosso objetivo é mostrar que se a velocidade for constante os vetores velocidade e aceleração serão ortogonais.
Como podemos fazer isso?
Você deve se lembrar lá da parte de vetores, quando dois vetores são ortogonais, o produto escalar entre eles é zero.
Bom, é isso só resolver!
Passo 2
Seja r(t) a posição da partícula em função do tempo . A velocidade é o vetor derivado de :
A aceleração é o vetor derivado da velocidade:
Passo 3
Vamos pensar juntos!!! A partícula se move com velocidade escalar constante. Isso significa que o módulo da velocidade é constante no tempo. Vamos então escrever
Para que e sejam ortogonais, vamos mostrar que o produto escalar entre esses vetores é zero.
Sabemos que o módulo da velocidade ao quadrado é constante.
Vamos começar derivando ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
Passo 4
No lado direito, a derivada de uma constante é zero.
No lado esquerdo, aplicamos a regra do Produto
No nosso caso e
Temos dois termos iguais, podemos então somar.
Sendo assim,
Sendo assim
Ou melhor
Demonstramos então que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
Resposta
Questão demonstração